[论文解读] Measured quantum groupoids with a central basis

Michel Enock|ArXiv.org|Aug 29, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 42被引用 6

一句话总结

该论文证明了具有中心基的测度量子群胚在所有结构运算下均存在一个不变的C*-子代数，该子代数构成一个连续的C*-代数场。当基在量子群胚及其对偶中均为中心时，结构退化为局部紧致量子群的连续场；此外，阿贝尔测度量子群胚恰好来源于局部紧致群胚，通过对偶性恢复了Ramsay定理。

ABSTRACT

Mimicking the von Neumann version of Kustermans and Vaes' locally compact quantum groups, Franck Lesieur had introduced a notion of measured quantum groupoid, in the setting of von Neumann algebras. In this article, we suppose that the basis of the measured quantum groupoid is central; in that case, we prove that a specific sub-${\bf C}^*$ algebra is invariant under all the data of the measured quantum groupoid; moreover, this sub-${\bf C}^*$-algebra is a continuous field of ${\bf C}^*$-algebras; when the basis is central in both the measured quantum groupoid and its dual, we get that the measured quantum groupoid is a continuous field of locally compact quantum groups. On the other hand, using this sub-${\bf C}^*$-algebra, we prove that any abelian measured quantum groupoid comes from a locally compact groupoid.

研究动机与目标

• 为具有中心基的测度量子群胚发展一个C*-代数框架，扩展冯诺依曼代数构造。
• 证明特定C*-子代数在量子群胚的结构运算下保持不变。
• 证明在中心基条件下，该不变子代数构成一个连续的C*-代数场。
• 建立阿贝尔测度量子群胚恰好来源于局部紧致群胚的结论，从而恢复Ramsay定理。
• 证明具有中心基的测度量子群胚对偶对产生局部紧致量子群的连续场。

提出的方法

• 该论文构造了一个测度量子群胚的C*-子代数，使其在共乘、反元素和权重运算下保持不变。
• 利用Connes-Sauvageot相对张量积和C*-代数上的权重，在C*-代数层次上定义结构。
• 应用Blanchard发展的连续C*-代数场理论，分析该不变子代数。
• 将共乘限制到子代数，并证明其映射进入连续场的最小张量积的乘子代数。
• 通过分析在中心基条件下原始与对偶测度量子群胚之间的相互作用，研究对偶性。
• 将该构造应用于阿贝尔情形，证明此类量子群胚恰好通过双对偶性来源于局部紧致群胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有中心基的测度量子群胚会存在一个不变的C*-子代数？
• RQ2 在中心基设定下，该不变C*-子代数与连续C*-代数场之间有何关系？
• RQ3 当对象及其对偶均具有中心基时，测度量子群胚的对偶性是否能被完全实现？
• RQ4 每个阿贝尔测度量子群胚是否都来源于一个局部紧致群胚？
• RQ5 在中心基情形下，共乘与不变子代数结构之间的确切关系为何？

主要发现

• 该不变C*-子代数在共乘、反元素和权重运算下保持不变，并构成一个连续的C*-代数场。
• 当基在测度量子群胚及其对偶中均为中心时，结构为局部紧致量子群的连续场。
• 共乘限制为从不变子代数到连续场最小张量积的乘子代数的映射。
• 在阿贝尔情形下，测度量子群胚来源于局部紧致群胚，从而恢复Ramsay定理。
• 非对角分量上的作用是遍历且可积的，且由共乘限制产生规范的算子值权重。
• 若中心投影的像位于对偶的中心中，则量子群胚可分解为两个局部紧致量子群的直和。