[论文解读] Multiple-Source Shortest Paths in Embedded Graphs

Sergio Cabello, Erin Wolf Chambers+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 45被引用 6

一句话总结

本论文提出了一种随机化O(gn log n)时间的预处理算法，用于在 genus-g 曲面上嵌入的有向加权图，支持从指定面边界上的任意顶点到图中任意其他顶点的O(log n)时间最短路径距离查询。该方法通过将Klein的平面图多源最短路径算法推广至高genus曲面，利用运动数据结构和动态树实现，适用于计算最短非同伦和非分离圈，时间复杂度为O(g²n log²n)。

ABSTRACT

Let G be a directed graph with n vertices and non-negative weights in its directed edges, embedded on a surface of genus g, and let f be an arbitrary face of G. We describe a randomized algorithm to preprocess the graph in O(gn log n) time with high probability, so that the shortest-path distance from any vertex on the boundary of f to any other vertex in G can be retrieved in O(log n) time. Our result directly generalizes the O(n log n)-time algorithm of Klein [SODA 2005] for multiple-source shortest paths in planar graphs. Intuitively, our preprocessing algorithm maintains a shortest-path tree as its source point moves continuously around the boundary of f. As an application of our algorithm, we describe algorithms to compute a shortest non-contractible or non-separating cycle in embedded, undirected graphs in O(g^2 n log n) time with high probability. Our high-probability time bounds hold in the worst-case for generic edge weights, or with an additional O(log n) factor for arbitrary edge weights.

研究动机与目标

• 将Klein的O(n log n)平面图多源最短路径算法推广至嵌入在genus-g曲面上的图。
• 支持从指定面边界上的任意顶点到图中任意其他顶点的高效最短路径距离与路径查询。
• 作为关键应用，计算嵌入无向图中长度最短的非同伦圈与非分离圈。
• 通过随机扰动和动态数据结构，在高概率下处理任意边权。
• 当g = o(n)时，相较于全对最短路径，实现更优的时间复杂度，尤其适用于低genus曲面。

提出的方法

• 通过运动数据结构方法，维护源顶点沿指定面f边界连续移动时的最短路径树。
• 使用动态树（特别是伸展树或链接-剪枝树）表示原图最短路径树及其对偶森林，支持高效的旋转操作。
• 采用字典序扰动方案打破距离与松弛值比较中的冲突，确保唯一结果，并通过最近公共祖先（LCA）查询实现高效比较。
• 通过跟踪移动源路径上松弛值的变化，识别关键事件——即边进入或离开最短路径树的时刻。
• 使用优先队列维护“绿色”子树，并通过SMALLERLEXSLACK与SMALLERLEXDISTANCE比较，在均摊O(log n)时间内解决冲突。
• 在整个面边界遍历过程中，旋转操作的总数被限制在O(gn)以内，从而在高概率下实现总体O(gn log n)的预处理时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面图的多源最短路径算法能否推广至更高genus曲面上的图？
• RQ2 在genus-g曲面上，当源沿面边界移动时，维护最短路径树的渐近时间复杂度是多少？
• RQ3 动态数据结构如何适应高genus图中生成树的非对偶性？
• RQ4 边权扰动对源移动过程中旋转操作数量的影响是什么？
• RQ5 能否利用所提出的预处理结构高效计算最短非同伦与非分离圈？

主要发现

• 预处理阶段以高概率在O(gn log n)时间内完成，当g = o(n)时，显著优于稠密图的O(n²)复杂度。
• 使用隐式数据结构，从面边界上任意顶点到图中任意其他顶点的距离查询可在O(log n)时间内完成。
• 最短路径报告可在O(log n + k log Δ)时间内完成，其中k为路径中的边数，Δ为最大度数。
• 在最坏情况下，最短非分离圈的计算时间为O(g²n log²n)，支持任意边权。
• 最短非同伦圈的计算时间为O((g² + b)n log²n)，其中b为边界分量的数量。
• 在面边界遍历过程中，旋转操作的总数被限制在O(gn)以内，且每次旋转可在O(g log n)时间内处理，使用O(g)个动态树。