[论文解读] N=1 theories of class S_k

Davide Gaiotto, Shlomo S. Razamat|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 38被引用 31

一句话总结

本文引入了一类新的 ${\cal N}=1$ 超共形场论 ${\cal S}_k$，通过在带 punctured 的黎曼曲面上紧化 6d $(1,0)$ SCFT 构建，推广了 ${\cal N}=2$ 类 ${\cal S}$ 构造。它提出这些理论的超对称指数可通过广义椭圆 Ruijsenaars-Schneider 差分算子的特征函数计算，退化情形下得到类似于 $k=1$ 时的 Macdonald 多项式之多项式指数，并猜想为保证完备性，存在新的强耦合 SCFT。

ABSTRACT

We construct classes of ${\cal N}=1$ superconformal theories elements of which are labeled by punctured Riemann surfaces. Degenerations of the surfaces correspond, in some cases, to weak coupling limits. Different classes are labeled by two integers (N,k). The k=1 case coincides with A_{N-1} ${\cal N}=2$ theories of class S and simple examples of theories with k>1 are Z_k orbifolds of some of the A_{N-1} class S theories. For the space of ${\cal N}=1$ theories to be complete in an appropriate sense we find it necessary to conjecture existence of new ${\cal N}=1$ strongly coupled SCFTs. These SCFTs when coupled to additional matter can be related by dualities to gauge theories. We discuss in detail the A_1 case with k=2 using the supersymmetric index as our analysis tool. The index of theories in classes with k>1 can be constructed using eigenfunctions of elliptic quantum mechanical models generalizing the Ruijsenaars-Schneider integrable model. When the elliptic curve of the model degenerates these eigenfunctions become polynomials with coefficients being algebraic expressions in fugacities, generalizing the Macdonald polynomials with rational coefficients appearing when k=1.

研究动机与目标

• 通过 6d $(1,0)$ SCFT 的扭曲紧化，将 ${\cal S}$ 构造从 ${\cal N}=2$ 扩展至 ${\cal N}=1$ 超共形场论。
• 定义一类由带 punctured 的黎曼曲面和整数 $(N,k)$ 标记的新 ${\cal N}=1$ SCFT 家族，推广 $k=1$ 时的 ${\cal N}=2$ 类 ${\cal S}$ 理论。
• 建立一个利用新型椭圆差分算子特征函数计算这些理论超对称指数的框架，推广 Ruijsenaars-Schneider 模型。
• 猜想为保证 ${\cal S}_k$ 构造的完备性，存在新的强耦合 ${\cal N}=1$ SCFT。

提出的方法

• 通过在 M-theory 中的 $A_{k-1}$ 奇点上紧化 $N$ 个 M5-brane，构建 6d $(1,0)$ SCFT ${\cal T}^N_k$，从而构造 ${\cal N}=1$ 理论。
• 使用圆柱上的双色 quiver gauge 理论作为一组常规 ${\cal N}=1$ 理论的‘核心’，以探测对偶性和几何结构。
• 利用广义椭圆 Ruijsenaars-Schneider 差分算子的特征函数计算超对称指数，其依赖于化学势和模参数。
• 通过黎曼曲面的成对短裤分解推导对偶性，不同分解下的指数计算结果一致。
• 为具有 $U(1)_t$ 离散电荷的理论引入对偶特征函数 $\hat{\psi}_\lambda$，其通过涉及 $\Gamma_e$ 函数的变换与 $\psi_\lambda$ 关联。
• 对 $k>1$ 建立两个不同差分算子 ${{\widetilde{\mathfrak{S}}}}^{({\beta},-)}_{(0,1)}$ 和 ${{\hat{\mathfrak{S}}}}^{({\beta},-)}_{(0,1)}$ 的正交性和对易性，二者仅在 $k=1$ 时重合。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 ${\cal N}=2$ 理论的类 ${\cal S}$ 构造推广至 ${\cal N}=1$ 超共形场论？
• RQ2 6d $(1,0)$ SCFT，特别是 ${\cal T}^N_k$，在通过紧化构建新 ${\cal N}=1$ SCFT 中扮演什么角色？
• RQ3 ${\cal S}_k$ 理论的超对称指数在黎曼曲面的几何操作（如退化和成对短裤分解）下如何变换？
• RQ4 $k>1$ 情形下控制指数的差分算子的结构是什么？它们如何推广 Ruijsenaars-Schneider 模型？
• RQ5 为何需要新的强耦合 ${\cal N}=1$ SCFT 来保证 ${\cal S}_k$ 构造的完备性？它们与规范理论通过什么对偶关系关联？

主要发现

• ${\cal N}=1$ 类 ${\cal S}_k$ 理论的超对称指数通过广义椭圆 Ruijsenaars-Schneider 差分算子的特征函数计算，作为 2d 拓扑场论实现。
• 当 $k=1$ 时，特征函数退化为具有有理系数的 Macdonald 多项式；当 $k>1$ 时，它们成为高亏格椭圆模型的特征函数，其系数为化学势的代数函数。
• 模型中椭圆曲线的退化导致多项式特征函数，推广了 $k=1$ 的情形，并为无拉格朗日描述的理论提供了指数计算工具。
• 对 $k>1$，存在两个不同的对易差分算子 ${{\widetilde{\mathfrak{S}}}}^{({\beta},-)}_{(0,1)}$ 和 ${{\hat{\mathfrak{S}}}}^{({\beta},-)}_{(0,1)}$，表明其结构比 $k=1$ 时更丰富，后者中二者重合。
• 为闭合对偶性网络，猜想存在新的强耦合 ${\cal N}=1$ SCFT，这些 SCFT 与物质耦合可生成对偶规范理论。
• 具有 $U(1)_t$ 离散电荷的理论的指数计算涉及对偶特征函数 $\hat{\psi}_\lambda$，其通过非平凡的 $\Gamma_e$-基变换与 $\psi_\lambda$ 关联，确保对偶性下的自洽性。