[论文解读] Narrow quantum D-modules and quantum Serre duality

Mark Shoemaker|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文引入了非紧流形或轨道丛的狭窄上同调，这是上同调的一个子空间，尽管在非紧情形下，该子空间仍支持一个定义良好且非退化的配对。本文在该狭窄上同调上构造了一个量子 D-模，从而将量子 Serre 对偶性重新表述为包含量子联络与配对在内的量子 D-模之间的同构，解决了在非紧目标（如向量丛的总空间）的 Gromov–Witten 理论中长期存在的问题。

ABSTRACT

Given Y a non-compact manifold or orbifold, we define a natural subspace of the cohomology of Y called the narrow cohomology. We show that despite Y being non-compact, there is a well-defined and non-degenerate pairing on this subspace. The narrow cohomology proves useful for the study of genus zero Gromov-Witten theory. When Y is a smooth complex variety or Deligne-Mumford stack, one can define a quantum D-module on the narrow cohomology of Y. This yields a new formulation of quantum Serre duality.

研究动机与目标

• 在标准配对失效的非紧流形或轨道丛上，定义一个行为良好的上同调子空间——狭窄上同调。
• 在该狭窄上同调上构造一个量子 D-模，确保量子联络保持该子空间不变，且配对保持非退化。
• 将量子 Serre 对偶性重新表述为包含量子联络与配对在内的完整量子 D-模之间的同构，而非仅作用于核上的映射。
• 解决以往量子 Serre 对偶性表述在非紧目标（如向量丛的总空间）上无法保持配对的问题。

提出的方法

• 将狭窄上同调定义为紧支集上同调到普通上同调的遗忘映射的像：$ H^{*}_{\text{nar}}(\tilde{Y}) = \text{im}( \theta: H^{*}_{\text{c}}(\tilde{Y}) \to H^{*}(\tilde{Y}) ) $。
• 利用紧支集上同调 $ H^{*}_{\text{c}}(\tilde{Y}) $ 与普通上同调 $ H^{*}(\tilde{Y}) $ 之间的 Poincaré 对偶配对，在 $ H^{*}_{\text{nar}}(\tilde{Y}) $ 上诱导出一个非退化配对。
• 证明量子联络 $ \nabla^{\tilde{Y}} $ 保持狭窄子空间 $ H^{*}_{\text{nar}}(\tilde{Y}) $，从而确保该子空间上量子 D-模结构的定义良好。
• 在狭窄量子 D-模上定义一个受限配对 $ S^{\tilde{Y},\text{nar}} $，该配对关于量子联络是平坦的。
• 证明映射 $ \pi^{*} \circ j_{*} $ 在变量替换后，诱导出 $ \mathcal{Z} $ 与 $ \tilde{Y} $ 的狭窄量子 D-模之间的 D-模同构，从而将量子 Serre 对偶性实现为 D-模同构。
• 通过函子 $ (-1)^{\text{rk}(\mathcal{E})} \text{det}(\mathcal{E}) \otimes (\pi^{*} \circ j_{*})(-) $ 建立与积分结构的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非紧目标 $ \tilde{Y} $ 上构造一个定义良好的量子 D-模，尽管标准 Poincaré 配对失效？
• RQ2 能否将量子 Serre 对偶性从仅作用于核的映射，升级为包含配对在内的完整量子 D-模之间的同构？
• RQ3 在非紧的 $ \tilde{Y} $ 上，是否存在一个自然的上同调子空间，支持非退化配对且被量子联络保持不变？
• RQ4 狭窄上同调与 $ \nabla^{\tilde{Y}} $ 的核中 $ \pi^{*} \circ j_{*} $ 的像之间有何关系？

主要发现

• 狭窄上同调 $ H^{*}_{\text{nar}}(\tilde{Y}) $ 定义为遗忘映射 $ \theta: H^{*}_{\text{c}}(\tilde{Y}) \to H^{*}(\tilde{Y}) $ 的像，提供了一个具有良好对偶性质的有限维子空间。
• 在 $ H^{*}_{\text{nar}}(\tilde{Y}) $ 上诱导的配对是非退化的，解决了非紧空间中普通上同调配对退化的问题。
• 量子联络 $ \nabla^{\tilde{Y}} $ 保持狭窄子空间，因此量子 D-模结构可限制在 $ H^{*}_{\text{nar}}(\tilde{Y}) $ 上。
• 在狭窄量子 D-模上存在一个定义良好且平坦的配对 $ S^{\tilde{Y},\text{nar}} $，使其成为一个完整的量子 D-模。
• 映射 $ \pi^{*} \circ j_{*} $ 在变量替换后，诱导出 $ \mathcal{Z} $ 与 $ \tilde{Y} $ 的狭窄量子 D-模之间的同构，从而将量子 Serre 对偶性实现为 D-模同构。
• 该构造与积分结构相容，通过函子 $ (-1)^{\text{rk}(\mathcal{E})} \text{det}(\mathcal{E}) \otimes (\pi^{*} \circ j_{*})(-) $ 将 Iritani 的积分结构推广至非紧情形。