[论文解读] Stable Spin Maps, Gromov-Witten Invariants, and Quantum Cohomology

Tyler J. Jarvis, Takashi Kimura+1 more|Dec 20, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文引入了稳定 r-自旋映射，这是一种将稳定映射到代数簇 V 与源曲线上的 r-自旋结构相结合的新模空间，证明其构成一个 Deligne-Mumford 叠。它定义了虚拟类，从而产生一个与 V 的 Gromov-Witten 量子上同调场理论和 r-自旋量子上同调场理论的张量积同构的上同调场理论（CohFT），进而得到一个 r-自旋量子上同调，其 Frobenius 流形结构是 V 的量子上同调与 A_{r-1} 奇点 Frobenius 流形的张量积。

ABSTRACT

We introduce the stack of r-spin maps. These are stable maps into a variety V from n-pointed algebraic curves of genus g, with the additional data of an r-spin structure on the curve. We prove that this stack is a Deligne-Mumford stack, and we define analogs of the Gromov-Witten classes associated to these spaces. We show that these classes yield a cohomological field theory (CohFT) that is the tensor product of the CohFT associated to the usual Gromov-Witten invariants of V and the r-spin CohFT. When r=2, our construction gives the usual Gromov-Witten invariants of V. Restricting to genus zero, we obtain the notion of an r-spin quantum cohomology of V, whose Frobenius structure is isomorphic to the tensor product of the Frobenius manifolds corresponding to the quantum cohomology of V and the r-th Gelfand-Dickey hierarchy (or, equivalently, the A_{r-1} singularity). We also prove a generalization of the descent property which, in particular, explains the appearance of the psi-classes in the definition of gravitational descendants. Finally, we compute the small phase space potential function when r=3 and V=CP^1.

研究动机与目标

• 构建一个到射影代数簇 V 的稳定 r-自旋映射的模空间，推广稳定映射与 r-自旋曲线。
• 在该模空间上定义虚拟基本类，确保其为 Deligne-Mumford 叠并支持一个 CohFT。
• 证明所得的 CohFT 同构于 V 的 Gromov-Witten CohFT 与 r-自旋 CohFT 的张量积。
• 建立 V 的 r-自旋量子上同调作为 Frobenius 流形，其结构同构于 V 的量子上同调与 A_{r-1} 奇点 Frobenius 流形的张量积。
• 计算 r=3 且 V=ℙ¹ 时的小相空间势函数，为相关函数提供显式递推关系。

提出的方法

• 将稳定 r-自旋映射的叠 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}(V)$ 构造为 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(V)$ 的分支覆盖，参数化带有 r-自旋结构和稳定映射到 V 的曲线。
• 在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}(V)$ 上定义一个虚拟类 $\tilde{c}^{1/r}$，其形式类似于 Gromov-Witten 理论中的虚拟基本类。
• 证明通过从 V 拉回上同调类，$\tilde{c}^{1/r}$ 在评估映射下的像诱导出一个 CohFT。
• 利用 CohFT 的张量积性质，证明所得理论同构于 V 的 Gromov-Witten CohFT 与 r-自旋 CohFT 的乘积。
• 通过 WDVV 方程与除子公理推导相关函数的递推关系，尤其针对亏格 1 及以上的情形。
• 计算 $r=3$ 且 $V=\mathbb{P}^1$ 时的小相空间势函数，推导出 $\beta=1$ 与 $\beta\geq2$ 相关函数的显式递推公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个包含源曲线上 r-自旋结构的稳定映射到代数簇 V 的模空间？
• RQ2 该新模空间上的虚拟基本类是什么？它是否能产生一个良定义的 CohFT？
• RQ3 所得的 CohFT 是否同构于 V 的 Gromov-Witten CohFT 与 r-自旋 CohFT 的张量积？
• RQ4 V 的 r-自旋量子上同调的结构是什么？它与已知的 Frobenius 流形有何关系？
• RQ5 能否为该理论的相关函数推导出显式递推关系，特别是当 $r=3$ 且 $V=\mathbb{P}^1$ 时？

主要发现

• 模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}(V)$ 是一个 Deligne-Mumford 叠，且是 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(V)$ 的分支覆盖，推广了稳定映射与 r-自旋曲线。
• 虚拟类 $\tilde{c}^{1/r}$ 在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}(V)$ 上定义了一个 CohFT，其同构于 V 的 Gromov-Witten CohFT 与 r-自旋 CohFT 的张量积。
• 在亏格零时，V 的 r-自旋量子上同调同构于 V 的量子上同调与 A_{r-1} 奇点 Frobenius 流形的张量积。
• 计算了 $r=3$ 且 $V=\mathbb{P}^1$ 时的小相空间势函数，得到了所有 $n\geq3$ 点相关函数的显式递推关系，涵盖 $\beta=1$ 与 $\beta\geq2$ 情形。
• 对于 $\beta=1$，相关函数满足 $\langle\tau_{0,1}^{n_1}\tau_{1,1}^{2n_1+1}\rangle_1 = \frac{n_1!}{3^{n_1}}\langle\tau_{1,0}^2\tau_{1,1}\rangle_1$，且 $\langle\tau_{1,0}^2\tau_{1,1}\rangle_1 = 1$，从而完全确定了 $\beta=1$ 部分。
• 对于 $\beta\geq2$，一个涉及 $\beta'$、$\beta''$、$n_1'$ 与 $n_1''$ 的复杂递推关系完全确定了不稳定范围内的所有 $n$-点相关函数，其中唯一非零的 1-点与 2-点相关函数为 $\langle\tau_{1,1}\rangle_1 = \langle\tau_{1,0}\tau_{1,1}\rangle_1 = 1$。