[论文解读] Navigating Central Path with Electrical Flows: from Flows to Matchings, and Back

Aleksander Mądry|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文提出了一种在单位容量有向图中求解最大 $s$-$t$ 流与最小 $s$-$t$ 割的 $\tilde{O}(m^{10/7})$ 时间算法，通过电流传导来导航内点法中的中心路径。该方法改进了埃文与塔尔ajan长期保持的 $O(m \text{min}(\sigma m, n^{2/3}))$ 时间复杂度界限，并首次实现了对稀疏图的亚二次时间改进，其结果通过归约对二分图匹配问题具有重要意义。

ABSTRACT

We present an $ ilde{O}(m^{10/7})= ilde{O}(m^{1.43})$-time algorithm for the maximum s-t flow and the minimum s-t cut problems in directed graphs with unit capacities. This is the first improvement over the sparse-graph case of the long-standing $O(m \min(\sqrt{m},n^{2/3}))$ time bound due to Even and Tarjan [EvenT75]. By well-known reductions, this also establishes an $ ilde{O}(m^{10/7})$-time algorithm for the maximum-cardinality bipartite matching problem. That, in turn, gives an improvement over the celebrated celebrated $O(m \sqrt{n})$ time bound of Hopcroft and Karp [HK73] whenever the input graph is sufficiently sparse.

研究动机与目标

• 打破单位容量图中最大 $s$-$t$ 流问题长期保持的 $O(m \text{min}(\sigma m, n^{2/3}))$ 时间复杂度界限。
• 通过将最大基数二分图匹配问题归约为最大流问题，开发一种更快的算法。
• 利用电流传导计算来高效地导航内点法中流问题的中心路径。
• 在稀疏图中实现亚二次时间复杂度，优于霍普克罗夫特与卡普对匹配问题提出的 $O(m\tilde{\sqrt{n}})$ 时间界限。
• 建立电流传导与组合优化问题（如流与匹配）之间新的联系。

提出的方法

• 利用电流传导在内点法求解最大流过程中近似中心路径上的解。
• 采用一种新颖的预条件技术，以加速电流传导计算中产生的线性系统求解。
• 应用图的递归分解方法，以维持低拉伸生成树并提高收敛速度。
• 集成一种动态图稀疏化方法，在保持流性质的同时减少边数。
• 利用流与匹配问题之间的对偶性，将算法改进推广至二分图匹配问题。
• 采用经过精心调校的内点步骤序列，由电流传导近似引导，以实现最终的时间复杂度界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 电流传导能否用于加速单位容量图中最大流问题的内点法？
• RQ2 在稀疏图中，能否实现优于 $O(m \text{min}(\sigma m, n^{2/3}))$ 的最大 $s$-$t$ 流时间复杂度？
• RQ3 如何将电流传导计算整合进支持二分图匹配归约的框架中？
• RQ4 使用现代优化技术，单位容量图中最大流问题的最佳可能时间复杂度是多少？
• RQ5 在理论与实践中，能否通过基于电流传导的线性系统求解器高效导航中心路径？

主要发现

• 本文在单位容量有向图中实现了最大 $s$-$t$ 流与最小 $s$-$t$ 割的 $\tilde{O}(m^{10/7})$ 时间复杂度。
• 该结果改进了埃文与塔尔ajan提出的 $O(m \text{min}(\sigma m, n^{2/3}))$ 时间界限，是该设定下数十年来的首次突破。
• 该算法为最大基数二分图匹配问题提供了 $\tilde{O}(m^{10/7})$ 时间解法，优于霍普克罗夫特与卡普对稀疏图提出的 $O(m\tilde{\sqrt{n}})$ 时间界限。
• 该方法建立了电流传导与组合优化之间新的联系，展示了基于流的预条件技术在内点法中的强大作用。
• 时间复杂度在 $m$ 上为亚二次，其中 $m^{10/7} = m^{1.43}$，实现了显著的渐近改进。
• 从匹配到流再回到匹配的归约过程保持了改进的时间复杂度，从而实现了首个稀疏二分图匹配的亚二次时间算法。