[论文解读] Necessary Conditions for Infinite Horizon Optimal Control Problems Revisited

Anton O. Belyakov|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Economic theories and modelsEconomics, Econometrics and Finance被引用 22

一句话总结

本文重新审视无限时域最优控制问题的必要最优性条件，特别是当目标泛函可能发散时。提出了一种新的横截条件，避免了对共轭变量的显式依赖，并在超越最优性和弱超越最优性下证明其必要性，优于经典条件在无贴现 Ramsey 问题中失效的情况。

ABSTRACT

Necessary optimality conditions in the form of the maximum principle for control problems with infinite time horizon are considered. Both finite and infinite values of objective functional are allowed since the concept of overtaking or weakly overtaking optimality is used. New form of optimality condition is obtained and compared with the transversality conditions usually used in the literature. The examples, where these transversality conditions may fail while the new condition holds are presented. For Ramsey problem of capital accumulation a simple form of necessary optimality conditions is derived, which is also valid in the case of zero discounting.

研究动机与目标

• 解决经典横截条件在无限时域最优控制问题中失效的问题，尤其当目标泛函可能发散时。
• 提出一种新的必要最优性条件，即使在标准条件如 lim ψ(t) = 0 或 lim H = 0 失效时仍保持有效。
• 为具有超越最优性和弱超越最优性的问题提供一个稳健的必要条件框架，特别是在经济增长模型中。
• 将最大值原理的适用范围扩展到如零贴现下的 Ramsey 问题等情形，其中传统条件不足。
• 推导出一种不依赖共轭变量的条件，提高一般性，并避免对如内部最优轨迹等限制性假设的依赖。

提出的方法

• 引入超越最优性和弱超越最优性作为无限时域问题的广义准则，允许目标泛函发散或振荡。
• 通过变分法结合针状扰动推导新的必要条件，避免对共轭变量的显式依赖。
• 采用改进的哈密顿结构和共轭变量的柯西型公式，确保在非收敛积分下的一致性。
• 利用状态方程线性化后的基本矩阵表达共轭变量，并推导新的横截条件。
• 将新条件应用于零贴现下的 Ramsey 问题，推导出一个简单且有效的必要条件，而经典条件在此失效。
• 证明新条件可作为经典形式（如公式 (5)）的特例，扩展其适用范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何经典横截条件如 lim ψ(t) = 0 或 lim H = 0 在目标泛函发散的无限时域问题中会失效？
• RQ2 能否提出一种在目标泛函不收敛时仍有效的必要最优性条件？
• RQ3 如何将最大值原理扩展到如零贴现下 Ramsey 问题等情形，其中标准条件不适用？
• RQ4 是否可能推导出一种不显式依赖共轭变量但仍在超越最优性下有效的必要条件？
• RQ5 新条件在何种意义上推广或包含现有横截条件（如 (5) 或 (4) 中的条件）？

主要发现

• 新横截条件在目标泛函发散时，对超越最优性和弱超越最优性仍为必要条件。
• 在无贴现 Ramsey 问题中，经典条件如 lim ψ(t) = 0、lim H = 0 和 limsup ⟨ψ(t), x(t)⟩ ≥ liminf ⟨ψ(t), x̂(t)⟩ 失效，而新条件仍成立。
• 新条件的推导不显式依赖共轭变量，因此在非内部解情形下更具鲁棒性。
• 对于零贴现下的 Ramsey 问题，本文推导出一个简单且有效的必要条件，而标准横截形式无法捕捉该条件。
• 新条件推广了文献 [1–4] 中的条件 (5)，将其适用范围扩展至非内部最优轨迹问题。
• 证明表明新条件与最大值原理一致，并可作为现有形式的特例，增强了理论稳健性。