[论文解读] New way of second quantized theory of fermions with either Clifford or Grassmann coordinates and spin-charge-family theory

N. S. Mankoč Borštnik, H. B. F. Nielsen|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2018

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一句话总结

本文提出了一种使用克利福德或格拉瑟曼坐标的新第二次量子化框架来描述费米子，证明了由克利福德空间中幂等元和投影元构成的产生与湮灭算符自然满足费米子对易关系。关键结果是克利福德空间中的单费米子态本质上已是第二量子化，无需引入负能量态；而格拉瑟曼空间则产生整数自旋的'费米子'，无法描述家族结构。

ABSTRACT

Fermions with the internal degrees of freedom described in Clifford space carry in any dimension a half integer spin. There are two kinds of spins in Clifford space. The spin-charge-family theory,assuming even d=13+1, uses one kind of spins to describe in d=3+1 spins and charges of quarks and leptons and antiquarks and antileptons, while the other kind is used to describe families. The new way of second quantization, suggested by the spin-charge-family theory, is presented. It is shown that the creation and annihilation operators of 1-fermion states, written as products of nilpotents and projectors of an odd Clifford character, fulfill the anticommutation relations as required in the second quantization procedure for fermions: 1-fermion states are in Clifford space already second quantized, the creation operators for any n-fermion second quantized vectors are products of one fermion creation operators, operating on the empty vacuum state. It is demonstrated that also in Grassmann space there exist the creation and annihilation operators of an odd Grassmann character, generating "fermions", which fulfill as well the anticommutation relations for fermions, representing correspondingly the second quantized 1-"fermion" states, in this case with integer spins. Grassmann space offers no families. We discuss the new second quantization procedure of the fields in both spaces. For the Grassmann case we present the action, basic states, solutions of the Weyl equation for free massless "fermions" and discrete symmetry operators. A short overview of the achievements of the spin-charge-family theory is done, and open problems of this theory still waiting to be solved are presented. The Grassmann and the Clifford case are compared in order to better understand open questions in physics of elementary fermion and boson fields and in cosmology.

研究动机与目标

• 通过克利福德代数和格拉瑟曼代数开发费米子的新第二量子化程序，避免依赖负能量态。
• 通过自旋-电荷-家族理论，在高维框架（d=(13+1)）中统一自旋、电荷与家族结构。
• 解释产生与湮灭算符的起源，这些算符在标准量子场论中是假设的。
• 比较克利福德空间与格拉瑟曼空间的物理内容，特别是自旋统计与家族结构方面。
• 解决新标准模型理论中的开放问题，包括物质-反物质不对称性以及规范场与希格斯场的出现。

提出的方法

• 将产生与湮灭算符构造为奇次格拉斯曼代数对象中幂等元与投影元的乘积。
• 证明这些算符满足费米子的正则对易关系，从而证明克利福德空间中的单费米子态本质上已是第二量子化。
• 利用克利福德空间中的洛伦兹生成元定义半整数自旋，而格拉瑟曼对象则产生整数自旋。
• 在格拉瑟曼空间中构造场作用量，推导出质量为零的'费米子'的类似外尔方程的解，并定义离散对称性算符。
• 将自旋-电荷-家族理论应用于 d=(13+1) 时空，其中自发对称性破缺导致低能 (3+1) 维物理。
• 利用克利福德代数的双重结构（两种生成元），通过不同的自旋类型描述夸克、轻子及其家族。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能从克利福德空间中的代数结构推导出费米子的第二量子化，而无需引入负能量态？
• RQ2 格拉瑟曼坐标与克利福德坐标在生成费米统计与物理态方面有何异同？
• RQ3 克利福德空间中两种不同的自旋类型在描述夸克、轻子及其家族方面起什么作用？
• RQ4 在 d=(13+1) 中的自旋-电荷-家族理论如何在 d=(3+1) 中重现标准模型的规范对称性、希格斯机制与物质-反物质不对称性？
• RQ5 格拉瑟曼空间中的内禀自旋结构有何含义，特别是其整数自旋特性与家族生成的缺失？

主要发现

• 由奇次格拉斯曼代数元素构成的产生与湮灭算符满足正则对易关系，证明克利福德空间中的单费米子态本质上已是第二量子化。
• 该理论消除了对负能量态的需求，解决了相对论性量子场论中长期存在的问题。
• 在格拉瑟曼空间中，奇次格拉瑟曼性质的算符生成满足费米子对易关系的态，但其内禀自旋为整数而非半整数。
• 在 d=(13+1) 中，克利福德代数的两种不同对象允许一种自旋类型描述夸克与轻子（包括电荷与自旋），而另一种自旋类型描述家族。
• 自旋-电荷-家族理论通过高维中的自发对称性破缺，为标准模型的规范群、希格斯机制与约当耦合提供了几何起源。
• 该理论预测了物质-反物质不对称性，并通过 d=(13+1) 中的类似卡鲁扎-克莱因紧化方式，为统一引力与规范及希格斯场提供了框架。