[论文解读] Nonlinear Connections on Gerbes, Clifford-Finsler Modules, and the Index Theorems

Sergiu I. Vacaru, Juan F. González--Hernández|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2005

Advanced Differential Geometry Research参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文为不具备标准旋量结构的非完整束丛（nonholonomic bundle gerbes）及其非线性联络（nonlinear connections）构建了一个几何框架，引入了在非旋量（non-spin）的N-非完整流形上定义的克利福德-芬斯勒模（Clifford-Finsler modules）。该研究构造了扭曲的狄拉克d-算子（twisted Dirac d-operators），并证明了适用于非完整结构的阿蒂亚-辛格指标定理，通过陈示性类（Chern characters）建立了对拉格朗日-芬斯勒空间与具有N-联络几何的黎曼-卡坦空间的拓扑表征。

ABSTRACT

The geometry of nonholonomic bundle gerbes, provided with nonlinear connection structure, and nonholonomic gerbe modules is elaborated as the theory of Clifford modules on nonholonomic manifolds which positively fail to be spin. We explore an approach to such nonholonomic Dirac operators and derive the related Atiyah-Singer index formulas. There are considered certain applications in modern gravity and geometric mechanics of such Clifford-Lagrange/ Finsler gerbes and their realizations as nonholonomic Clifford and Riemann-Cartan modules.

研究动机与目标

• 将阿蒂亚-辛格指标定理推广至不具有标准旋量结构的非完整流形。
• 通过非线性联络（N-联络）结构，定义并研究非完整束丛（nonholonomic bundle gerbes）及其模。
• 在适配于N-非完整标架的克利福德模上构造扭曲的狄拉克d-算子。
• 为非完整束丛模定义陈示性类不变量，并将其与指标公式关联。
• 证明正则拉格朗日几何与芬斯勒几何自然地作为具有标准N-联络与d-联络的N-非完整黎曼-卡坦空间的特例出现。

提出的方法

• 利用束丛与束丛模的形式体系，通过非线性联络结构将其推广至非完整（N-非完整）流形。
• 引入d-联络（区分联络，distinguished connections），并利用适配标架与结构方程计算其曲率分量。
• 通过d-曲率分量的缩并定义d-张量，如里奇张量与数量曲率，其中一般d-联络的里奇张量为非对称。
• 应用Sasaki型提升构造芬斯勒空间切丛上的典范度量，从而诱导出d-度量结构。
• 由拉格朗日函数导出标准N-联络：$ {}^{L}N_{j}^{i} = \partial G^{i}/\partial y^{j} $，将其与测地线喷射场及非线性联络几何相联系。
• 通过N-联络在切丛上构造一个几乎复结构 $ \mathbf{F} $，满足 $ \mathbf{F}^2 = -I $，并与d-结构相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将阿蒂亚-辛格指标定理推广至不具有标准旋量结构的非完整流形？
• RQ2 非线性（N-）联络在非完整空间上定义一致克利福德模结构中起何种作用？
• RQ3 拉格朗日与芬斯勒几何如何作为具有标准d-联络的N-非完整黎曼-卡坦流形的特例出现？
• RQ4 能否为非完整束丛模定义陈示性类？它们与指标公式有何关系？
• RQ5 d-联络曲率分量在非线性联络与度量方面的几何意义为何？

主要发现

• 对于非完整克利福德模上的扭曲狄拉克d-算子，阿蒂亚-辛格指标公式成立，其指标通过N-非完整束丛模的陈示性类计算得出。
• 对任意正则拉格朗日函数，标准N-联络 $ {}^{L}N_{j}^{i} = \partial G^{i}/\partial y^{j} $ 诱导出非完整标架结构，并在 $ \widetilde{TM} $ 上诱导出一个标准几乎复结构 $ \mathbf{F} $。
• 欧拉-拉格朗日方程等价于由标准半喷射场 $ S = y^{i}\partial_i - 2G^{i}\partial_i $ 定义的非线性测地线方程，其中 $ 2G^{i} $ 由拉格朗日函数的二阶导数确定。
• 标准d-联络 $ {}^{L}\widehat{\mathbf{\Gamma}} $ 完全由拉格朗日函数的度量 $ {}^{L}g_{ij} $ 与N-联络 $ {}^{L}N_{j}^{i ext{ }} $ 决定，其曲率分量通过结构方程显式导出。
• 数量曲率 $ {}^{s}\mathbf{R} $ 定义为d-度量对d-里奇张量的缩并，即 $ {}^{s}\mathbf{R} = g^{ij}R_{ij} + h^{ab}R_{ab} $，一般d-联络的里奇张量为非对称。
• 非完整束丛模的陈示性类为拓扑不变量，表征正则拉格朗日-芬斯勒构型，并提供其平凡性的拓扑障碍。