[论文解读] Nonnegative Polynomials and Sums of Squares

Grigoriy Blekherman|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文揭示了在最小情形下（即三元六次型 (3,6) 和四元四次型 (4,4)），某些非负齐次多项式为何不是平方和的根本几何与代数原因：Cayley-Bacharach 关系——多项式之间的线性依赖关系——生成了所有将非负多项式锥与平方和锥分离的线性不等式，从而通过曲线交点及显式线性泛函，完整刻画了这些差异。

ABSTRACT

In the smallest cases where there exist nonnegative polynomials that are not sums of squares we present a complete explanation of this distinction. The fundamental reason that the cone of sums of squares is strictly contained in the cone of nonnegative polynomials is that polynomials of degree $d$ satisfy certain linear relations, known as the Cayley-Bacharach relations, which are not satisfied by polynomials of full degree 2d. For any nonnegative polynomial that is not a sum of squares we can write down a linear inequality coming from a Cayley-Bacharach relation that certifies this fact. We also characterize strictly positive sums of squares that lie on the boundary of the cone of sums of squares and extreme rays of the cone dual to the cone of sums of squares

研究动机与目标

• 解释为何在发生此区分的最小情形 (3,6) 和 (4,4) 中，非负多项式并不总是平方和。
• 识别出在这些情形下将非负形式锥与平方和锥分离的全部线性不等式。
• 表明这些分离不等式完全源于曲线交点之间的 Cayley-Bacharach 关系。
• 通过形式的实与复共轭交点，刻画平方和锥的对偶锥的极射线。

提出的方法

• 使用齐次化方法处理形式而非一般多项式，聚焦于 (3,6) 和 (4,4) 情形。
• 应用 Cayley-Bacharach 关系——在次数 d 下成立但不在全次数 2d 多项式中成立的多项式线性依赖关系——推导出分离的线性不等式。
• 基于曲线交点 γi（(3,6) 中为三次曲线，(4,4) 中为二次曲线）构造线性泛函 ℓ(f) = ∑μif(zi)，允许复共轭对。
• 定义实值评估映射 Eℝ: Hn,d → ℝ^s，将形式映射到其在实与复共轭点上的取值，并将像识别为一个超平面 L。
• 分析由这些评估诱导的 Hn,d 上的正半定二次型 Qℓ，证明其为对偶锥 Σ∗n,2d 的极射线。
• 通过配方将二次型问题约化为实超平面，并证明极射线要么对应于点评估，要么对应于核中具有唯一射影零点的型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 (3,6) 和 (4,4) 情形下，非负多项式为何不是平方和的根本代数与几何原因是什么？
• RQ2 在这些情形下，所有将非负形式锥与平方和锥分离的线性不等式是否都源于 Cayley-Bacharach 关系？
• RQ3 能否通过曲线的交点（包括复共轭对）完全刻画平方和锥对偶锥的极射线？
• RQ4 复交点的存在是否对极射线是必要的？还是所有此类极射线均可通过完全实交点实现？

主要发现

• 在 (3,6) 情形中，任何非负但非平方和的形式均可由基于两实三次曲线 9 个交点（至多两个复点）的线性泛函 ℓ(f) = ∑μif(zi) 证实。
• 在 (4,4) 情形中，此类证实源于三实二次曲线的 8 个交点（至多两个复点）。
• 在这些情形下，将 Pn,2d 与 Σn,2d 分离的所有线性不等式均由 Cayley-Bacharach 关系生成，而这些关系在全次数 2d 多项式中不存在。
• 非点评估的对偶锥 Σ∗n,2d 极射线对应于具有核中唯一射影零点的二次型 Qℓ，其源于交点的复共轭对。
• 不对应于点评估的极射线 Qℓ 的核具有如下性质：其任意 n−1 个形式的横截交点至多包含一个复共轭零点对。
• 本文猜想，此类极射线总可通过完全实交点实现，意味着复共轭对在表征中并非本质要素。