[论文解读] Normalizer Circuits and Quantum Computation

Juan Bermejo-Vega|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 238被引用 4

一句话总结

本文提出了归一化电路形式化，这是一种统一框架，将 Clifford 门扩展至包含量子傅里叶变换（QFT）、自同构门以及阿贝尔群或超群上的二次相位门。它表明归一化电路能够捕捉 Shor 算法和阿贝尔隐藏子群问题（HSP），提供了经典模拟技术，并建立了量子算法与稳定子码之间深刻的代数联系，揭示了可高效模拟的新型量子系统类别，以及针对隐藏交换超结构的新指数级加速算法。

ABSTRACT

(Abridged abstract.) In this thesis we introduce new models of quantum computation to study the emergence of quantum speed-up in quantum computer algorithms. Our first contribution is a formalism of restricted quantum operations, named normalizer circuit formalism, based on algebraic extensions of the qubit Clifford gates (CNOT, Hadamard and $π/4$-phase gates): a normalizer circuit consists of quantum Fourier transforms (QFTs), automorphism gates and quadratic phase gates associated to a set $G$, which is either an abelian group or abelian hypergroup. Though Clifford circuits are efficiently classically simulable, we show that normalizer circuit models encompass Shor's celebrated factoring algorithm and the quantum algorithms for abelian Hidden Subgroup Problems. We develop classical-simulation techniques to characterize under which scenarios normalizer circuits provide quantum speed-ups. Finally, we devise new quantum algorithms for finding hidden hyperstructures. The results offer new insights into the source of quantum speed-ups for several algebraic problems. Our second contribution is an algebraic (group- and hypergroup-theoretic) framework for describing quantum many-body states and classically simulating quantum circuits. Our framework extends Gottesman's Pauli Stabilizer Formalism (PSF), wherein quantum states are written as joint eigenspaces of stabilizer groups of commuting Pauli operators: while the PSF is valid for qubit/qudit systems, our formalism can be applied to discrete- and continuous-variable systems, hybrid settings, and anyonic systems. These results enlarge the known families of quantum processes that can be efficiently classically simulated. This thesis also establishes a precise connection between Shor's quantum algorithm and the stabilizer formalism, revealing a common mathematical structure in several quantum speed-ups and error-correcting codes.

研究动机与目标

• 开发一种新的量子计算形式化，将稳定子形式化和 Clifford 门推广至包含 QFT 等强大门。
• 刻画归一化电路的计算能力，确定其何时产生量子加速或仍可经典模拟。
• 利用群与超群理论将 Gottesman 的稳定子形式化扩展至连续变量、混合及任意任何子系统。
• 揭示统一量子算法与量子误差纠正码的代数结构，特别是将 Shor 算法与稳定子码联系起来。
• 推导出关于通过标准阿贝尔傅里叶采样寻找量子加速的全新无解定理，并构造针对隐藏交换超结构的新指数级加速算法。

提出的方法

• 提出基于阿贝尔群或超群 G 的量子傅里叶变换（QFT）、自同构门和二次相位门的归一化电路形式化。
• 将归一化门定义为保持 G 上海森伯格群结构的酉算符，其相空间作用由辛矩阵描述。
• 为连续群（如 $\mathbb{R}^m$）上的自同构门引入归一化因子 $1/\sqrt{\mathrm{mod}\,\alpha}$ 以确保酉性，该因子源自哈尔测度与变量替换公式。
• 应用群与超群理论将稳定子群推广至泡利算符之外，实现对非单项式及非酉稳定子的描述。
• 利用基于广义 Gottesman-Knill 定理的经典模拟技术，分析归一化电路何时能或不能提供量子优势。
• 构造显式电路（如高斯门，例如压缩门 $S(r)$、分束器 $U_{BS}$），并证明其可分解为归一化门（至多含泡利修正）。

实验结果

研究问题

• RQ1 Shor 算法及其他阿贝尔隐藏子群问题中的量子加速背后的代数结构是什么？
• RQ2 稳定子形式化能否扩展至超越 qubit 和 qudit 的连续变量与混合量子系统？
• RQ3 在何种条件下归一化电路能提供量子优势，何时可经典模拟？
• RQ4 是否存在超越标准傅里叶采样技术的新量子算法，实现指数级加速？
• RQ5 模块函数 $\mathrm{mod}\,\alpha}$ 在确保局部紧阿贝尔群上自同构门的酉性中起什么作用？

主要发现

• 归一化电路形式化将 Clifford 群推广至包含阿贝尔群与超群上的 QFT 和自同构门，可捕捉 Shor 算法与阿贝尔 HSP 算法。
• 该框架将 Gottesman-Knill 定理扩展至连续、无限及混合系统，实现了对更广泛类量子电路的经典模拟。
• 为连续群（如 $\mathbb{R}^m$）上的自同构门，必须引入归一化因子 $1/\sqrt{\mathrm{mod}\,\alpha}$ 以保证酉性，该因子源自哈尔测度与变量替换公式。
• 本文证明了关于通过标准阿贝尔傅里叶采样寻找新量子加速的无解定理，表明此类技术不足以实现新指数级加速算法。
• 针对隐藏交换超结构，构造了具有指数级加速的新量子算法，展示了该形式化在标准 HSP 之外的强大能力。
• 精确建立了 Shor 算法与稳定子形式化之间的代数联系，揭示了量子算法与纠错码之间统一的数学结构。