[论文解读] Notes on genus one real Gromov-Witten invariants

Mohammad Farajzadeh Tehrani|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过将三种实曲线模空间通过边界粘合的方式结合，为具有实结构的辛流形（包括卡拉比-丘三流形）提出了一类扭结数为一的实格罗莫夫-威滕不变量的定义，以消除余维数一的边界并确保可定向性。利用等变局部化方法，作者计算了复射影空间的不变量，结果表明，环面、莫比乌斯带和克莱因瓶类型的不变量可能并不总是独立存在，这与物理学家的预期相悖。

ABSTRACT

In this paper, we propose a definition of genus one real Gromov-Witten invariants for certain symplectic manifolds with real a structure, including Calabi-Yau threefolds, and use equivariant localization to calculate certain genus one real invariants of the projective space. For this definition, we combine three moduli spaces corresponding to three possible types of involutions on a symplectic torus, by gluing them along common boundaries, to get a moduli space without codimension-one boundary and then study orientation of the total space. Modulo a technical conjectural lemma, we can prove that the result is an invariant of the corresponding real symplectic manifold. In the aforementioned example, our main motivation is to show that the physicists expectation for the existence of separate Annulus, Mobius, and Klein bottle invariants may not always be true.

研究动机与目标

• 为具有实结构的辛流形（包括卡拉比-丘三流形）定义扭结数为一的实格罗莫夫-威滕不变量。
• 通过沿共同边界组合三种不同类型实曲线模空间的方式，解决模空间中的定向问题。
• 利用等变局部化技术计算复射影空间的具体不变量。
• 检验物理学家的预期：环面、莫比乌斯带和克莱因瓶类型不变量是否总是独立存在。

提出的方法

• 通过沿共同边界分量粘合，组合对应于辛环面上不同对合类型的三种模空间。
• 构建一个不包含余维数一边界的整体模空间，以确保定向性良好定义。
• 应用等变局部化技术，计算复射影空间情形下的扭结数为一的实不变量。
• 利用实辛流形及其实结构的性质，定义在形变下不变的不变量。
• 利用实曲线的拓扑性质（实对合、反定向对合与保向对合）统一模空间构造。
• 假设一个技术性猜想引理，以确立最终计数在实辛结构下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为实辛流形（包括卡拉比-丘三流形）一致地定义扭结数为一的实格罗莫夫-威滕不变量？
• RQ2 所提出的模空间构造是否不包含余维数一的边界分量，从而实现良好定义的定向？
• RQ3 物理学家所预期的环面、莫比乌斯带和克莱因瓶类型不变量是否总是作为独立不变量存在？
• RQ4 等变局部化方法是否可有效应用于具体情形（如射影空间）下的扭结数为一实不变量的计算？
• RQ5 所提出的定义是否产生一个仅依赖于底层实辛结构的不变量（在技术性猜想成立的条件下）？

主要发现

• 所提出的模空间构造通过将三种不同类型实曲线模空间粘合，成功消除了余维数一的边界分量。
• 在假设一个技术性猜想引理的前提下，整体模空间的定向是良好定义的。
• 利用等变局部化方法计算了复射影空间的扭结数为一实不变量。
• 计算结果表明，环面、莫比乌斯带和克莱因瓶类型不变量可能并不总是独立存在，这与常见的物理预期相矛盾。
• 所得到的不变量在技术引理成立的条件下，推测为底层实辛流形的不变量。