[论文解读] Numerical invariants of Fano schemes of linear subspaces on complete intersections

Dang Tuan Hiep|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文为一般完全交 $X \subset \mathbb{P}^n$ 上 $k$-维线性子空间的 Fano 簇 $F_k(X)$ 建立了亏格-次数公式，当其期望维数为 1 时成立。该公式通过 tautological bundle 的对称幂与 Grassmannian 上的积分公式推导得出，给出了以定义超曲面的次数和环境维数表示的亏格与次数的显式表达式。

ABSTRACT

The goal of this paper is to explore the genus and degree of the Fano scheme of linear subspaces on a complete intersection in a complex projective space. Firstly, suppose that the expected dimension of the Fano scheme is one, we prove a genus-degree formula. Secondly, we give a degree formula for the Fano scheme.

研究动机与目标

• 当 $F_k(X)$ 的期望维数为 1 时，推导其亏格-次数公式。
• 对任意期望维数 $\delta(n,\underline{d},k) \geq 0$，计算 $F_k(X)$ 在 Plücker 嵌入下的次数。
• 将关于超曲面上直线曲线的古典结果推广至高维完全交。
• 通过引入判别式 $\prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$，提供一种结构上不同的新证明方法，以推导次数公式。
• 建立 $F_k(X)$ 的次数与 Grassmannian 上对称多项式中特定单项式系数之间的联系。

提出的方法

• 使用 Gauss-Bonnet 公式，将 $F_k(X)$ 的次数表示为 Grassmannian $G(k+1,n+1)$ 上陈类积分。
• 应用分裂原理，将 $\operatorname{Sym}^{d_i}S^\vee$ 的上层陈类表示为陈根 $x_0,\dots,x_k$ 的对称多项式。
• 利用文献 [12, 定理 3] 中的积分公式，通过计算多项式乘积中 $x_0^n \cdots x_k^n$ 的系数，以及判别式 $\prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$，来计算次数。
• 利用 tautological bundle $S^\vee$ 及其对称幂的结构，通过归纳法与普遍性质计算陈类。
• 依赖于 $F_k(X)$ 是 $\bigoplus_{i=1}^r \operatorname{Sym}^{d_i}S^\vee$ 的全局截面的零点集这一事实，从而可应用法丛与陈类技术。
• 利用 Grassmannian 的切丛的第一陈类 $c_1(T_G) = (n+1)\sigma_1$，通过邻接公式计算亏格。

实验结果

研究问题

• RQ1 当期望维数为 1 时，Fano 簇 $F_k(X)$ 的亏格是多少？
• RQ2 对于任意余维数的完全交，如何在 Plücker 嵌入下计算 $F_k(X)$ 的次数？
• RQ3 Fano 簇 $F_k(X)$ 的次数与 tautological bundle 的陈根对称多项式系数之间的确切关系是什么？
• RQ4 与以往方法相比，包含判别式 $\prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$ 如何改变次数的计算？
• RQ5 亏格-次数公式能否推广至超出曲线的高维 Fano 簇？

主要发现

• 当 $\delta(n,\underline{d},k) = 1$ 时，Fano 簇 $F_k(X)$ 是一个光滑连通的射影曲线，其亏格为 $g = 1 + \frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^r \binom{d_i + k}{k+1} - n - 1\right)d$，其中 $d$ 为在 Plücker 嵌入下曲线的次数。
• F_k(X) 的次数 $d$ 由 $d = \frac{c(n,\underline{d},k)}{(k+1)!}$ 给出，其中 $c(n,\underline{d},k)$ 是多项式 $$ \prod_{i=1}^r \prod_{\substack{a_0+\cdots+a_k=d_i \\ a_i \in \mathbb{N}}} (a_0x_0 + \cdots + a_kx_k) \cdot (x_0 + \cdots + x_k)^{\delta(n,\underline{d},k)} \cdot \prod_{i\neq j}(x_i - x_j) $$ 中 $x_0^n \cdots x_k^n$ 的系数。
• 当 $\delta(n,\underline{d},k) = 0$ 时，一般完全交上 $k$-平面的数量为 $\frac{c(n,\underline{d},k)}{(k+1)!}$，与 $F_k(X)$ 的次数一致。
• 该亏格公式推广了 Markusevich 和 Tennenison 对四次三复形及 $\mathbb{P}^5$ 中 $(2,3)$-型完全交的结果。
• 该次数公式在结构上不同于以往工作，因其引入了判别式 $\prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$ 而非范德蒙德行列式。
• 显式例子验证了公式的正确性：对于 $\mathbb{P}^4$ 中的四次三复形，$d = 320$，$g = 801$；对于 $\mathbb{P}^5$ 中的 $(2,3)$-完全交，$d = 180$，$g = 271$。