[论文解读] Odd Jacobi manifolds: general theory and applications to generalised Lie algebroids

Andrew James Bruce|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文引入了奇 Jacobi流形作为超流形上经典 Jacobi 结构的 Grassmann 奇性类比，通过一个奇 Schouten 结构和一个满足类比经典 Jacobi 恒等式条件的同调向量场来定义。关键贡献在于表明 Jacobi 超代数丛自然地作为 quasi Q-流形（弯曲的 Q-结构）出现，为广义李代数丛提供了新的几何框架，并扩展了奇辛几何与规范场论形式之间的联系。

ABSTRACT

In this paper we define a Grassmann odd analogue of Jacobi structure on a supermanifold. The basic properties are explored. The construction of odd Jacobi manifolds is then used to reexamine the notion of a Jacobi algebroid. It is shown that Jacobi algebroids can be understood in terms of a kind of curved Q-manifold, which we will refer to as a quasi Q-manifold.

研究动机与目标

• 在超流形上发展经典 Jacobi 结构的 Grassmann 奇性类比，填补奇几何结构理论中的空白。
• 通过将 Jacobi 超代数丛重新解释为 quasi Q-流形（具有特定相容性条件的弯曲 Q-结构），阐明其几何本质。
• 通过将带有 1-上循环的李代数丛嵌入奇 Jacobi 几何框架，扩展对李代数丛在 1-上循环存在下的理解。
• 利用奇超几何结构，特别是 Z-分次流形背景下的奇超几何结构，为广义李代数丛提供新的视角。
• 通过奇 Jacobi 几何为 $L_∞$-代数和非线性 Jacobi 超代数丛等高阶结构奠定基础。

提出的方法

• 通过余切丛上 Grassmann 奇性、关于纤维的二次多项式结构（记为‘几乎 Schouten 结构’）来定义超流形上的奇 Jacobi 结构。
• 引入一个权为 1 的同调向量场 $Q$，满足 $[Q, Q] = 0$ 模去修正项，推广 Q-结构的概念。
• 通过类比经典 Jacobi 恒等式的条件，建立奇 Schouten 结构与同调向量场之间的相容性：$[[S,S]] = 2E \wedge S$ 与 $\mathcal{L}_E S = 0$，其中 $E$ 与 $Q$ 相关联。
• 使用奇偶性反转函子 $\Pi$ 将 $\Pi E^*$ 的全空间与向量丛的对偶联系起来，从而构造出规范的双重向量丛态射。
• 通过标准坐标和权赋值，构造一个对称同构 $R: T^*(\Pi E^*) \to T^*(\Pi E)$，并证明该态射保持辛结构。
• 通过证明底层几何数据（即 Schouten 结构与同调向量场）满足所需的弯曲 Q-结构公理，将 Jacobi 超代数丛重新解释为 quasi Q-流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在超流形上一致地定义经典 Jacobi 结构的 Grassmann 奇性类比？
• RQ2 Jacobi 超代数丛在奇超几何结构（如 quasi Q-流形）下的几何表征是什么？
• RQ3 带有 1-上循环的李代数丛概念能否自然地嵌入奇 Jacobi 几何框架中？
• RQ4 规范的双重向量丛态射在关联 $T^*(\Pi E^*)$ 与 $T^*(\Pi E)$ 上的不同奇超几何结构中起什么作用？
• RQ5 奇 Jacobi 结构如何推广到非线性或更高同伦结构（如 $L_\infty$-代数）？

主要发现

• 奇 Jacobi 流形由 Grassmann 奇性 Schouten 结构 $S$ 和满足 $[Q, Q] = 0$ 模去涉及向量场 $E$ 的修正项的同调向量场 $Q$ 定义，将经典 Jacobi 结构推广至奇超几何设定。
• 函数上的关联奇 Jacobi 括号满足 Schouten 括号公理，但除非 $E = 0$，否则不满足导子性质，这与经典 Jacobi 括号不满足 Leibniz 法则的特性一致。
• Jacobi 超代数丛被证明等价于 quasi Q-流形——即具有同调向量场 $Q$ 和相容奇 Schouten 结构 $S$ 的超流形，满足 $[[S,S]] = 2E \wedge S$ 与 $\mathcal{L}_E S = 0$。
• 规范的双重向量丛态射 $R: T^*(\Pi E^*) \to T^*(\Pi E)$ 被证明是辛同构，保持辛结构 $dp_A dx^A + d\pi^\alpha d\eta_\alpha$ 与 $dp_A dx^A + d\pi_\alpha d\xi^\alpha$。
• 坐标上的权与 Grassmann 奇偶性赋值（例如 $\operatorname{w}(\eta_\alpha) = 1$，$\widetilde{\eta}_\alpha = \widetilde{\alpha} + 1$）对于保持变换律与辛结构的一致性至关重要。
• 该框架为广义李代数丛提供了自然设定，表明它们作为 Jacobi 超代数丛的奇超几何实现，通过 quasi Q-结构自然出现。