[论文解读] On AGT-W Conjecture and q-Deformed W-Algebra

Masato Taki|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 45被引用 26

一句话总结

本文通过将5d $SU(N)$ $\

ABSTRACT

We propose an extension of the Alday-Gaiotto-Tachikawa-Wyllard conjecture to 5d SU(N) gauge theories. A Nekrasov partition function then coincides with the scalar product of the corresponding Gaiotto-Whittaker vectors of the q-deformed W_N algebra.

研究动机与目标

• 将AGT-W对应关系从4d $\mathcal{N}=2$理论推广到5d $SU(N)$ $\mathcal{N}=1$超杨–米尔斯理论。
• 建立Nekrasov划分函数与$q$-变形$W_N$代数Whittaker向量的标量积之间的对应关系。
• 将Awata与Yamada的$SU(2)$结果推广到更高秩的$SU(N)$规范群。
• 对$N=3$在一级和二级瞬子层级，以及对$N=4$在一级瞬子层级，提供该对应的显式检验。
• 通过Kac-Shapovalov行列式计算，验证所提出的标量积的一致性。

提出的方法

• 通过包含$q$、$t$和$p=q/t$的无穷级数定义的结构函数$f^{\ell m}(z)$，利用$q$-变形Miura变换引入$q$-变形$W_N$代数的生成元。
• 通过条件$T_n|\lambda\rangle = 0$（$n \geq 2$）和$T_1|\lambda\rangle = \lambda|\lambda\rangle$定义Gaiotto-Whittaker向量，推广$SU(2)$情形。
• 提出5d $SU(N)$规范理论的Nekrasov划分函数等于此类Whittaker向量的标量积$\langle 0,\dots,0,\Lambda^N|\Lambda^N,0,\dots,0\rangle$。
• 使用Kac-Shapovalov行列式形式，计算$q$-变形$W_3$和$W_4$代数的Verma模在一级和二级的态的范数。
• 对$q$-变形$W_3$和$W_4$显式计算Kac-Shapovalov矩阵$\mathcal{G}^{(1)}$和$\mathcal{G}^{(2)}$，推导出可因式分解的行列式表达式。
• 将$q$-变形$W_3$代数在二级的因式分解Kac行列式与5d $SU(3)$规范理论的两瞬子划分函数的分母进行比较，通过AGT对应关系确认一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 5d $SU(N)$ $\mathcal{N}=1$超杨–米尔斯理论的Nekrasov划分函数是否与$N > 2$时$q$-变形$W_N$代数Whittaker向量的标量积对应？
• RQ2 Awata与Yamada的$SU(2)$结果能否在5d AGT对应关系的框架下推广到更高秩的$SU(N)$规范群？
• RQ3 $q$-变形$W_3$和$W_4$代数的Kac-Shapovalov行列式如何与5d $SU(3)$和$SU(4)$规范理论的瞬子划分函数相关联？
• RQ4 在二级的Kac行列式因式分解形式是否与5d $SU(3)$理论中两瞬子划分函数的分母结构一致？
• RQ5 在高秩情形下，$q$-变形$W_N$代数生成元及其对易关系的显式代数结构是什么？

主要发现

• 5d $SU(N)$ $\mathcal{N}=1$超杨–米尔斯理论的Nekrasov划分函数被猜想等于$q$-变形$W_N$代数Whittaker向量的标量积$\langle 0,\dots,0,\Lambda^N|\Lambda^N,0,\dots,0\rangle$。
• 对于$N=3$，两瞬子划分函数的分母与$q$-变形$W_3$代数在二级的因式分解Kac行列式一致。
• $q$-变形$W_3$代数的Kac-Shapovalov矩阵$\mathcal{G}^{(2)}$被显式计算，其行列式被发现可因式分解为包含$q$、$t$和$Q_i$的项的乘积，与5d $SU(3)$划分函数的预期结构相符。
• 对于$N=4$，通过$q$-变形$W_4$代数的一级Kac矩阵$\mathcal{G}^{(1)}$验证了一瞬子划分函数与Whittaker向量标量积的一致性。
• $q$-变形$W_4$在一级的Kac-Shapovalov行列式以结构常数$f^{\alpha\beta}_1$、$d_n$和$c$表示，与AGT对应关系一致。
• $W_3$和$W_4$代数的行列式表达式均表现出可因式分解形式，重现了5d瞬子划分函数的分母结构，为所提出的对应关系提供了强有力证据。