[论文解读] On genus one fibered Calabi-Yau threefolds with 5-sections

Johanna Knapp, Emanuel Scheidegger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 126被引用 7

一句话总结

该论文通过格拉斯曼丛纤维化和佩夫连诺簇中的完全交集，构建了具有五节的亏格一纤维化卡拉比-丘三fold，建立了双重几何之间的同调投影对偶性。利用拓扑弦理论中的模形式自举方法，计算了所有亏格的格帕库马尔-瓦法不变量，并表明对偶的划分函数在 Γ₀(5) 模形式对称下变换。从 F-theory 角度，实现了电荷为 5 的超多重态，并猜想对偶几何位于同一塔特-沙法列维奇群中。

ABSTRACT

Elliptic and genus one fibered Calabi-Yau spaces play a prominent role in string theory and mathematics. In this article we discuss a class of genus one fibered Calabi-Yau threefolds with 5-sections from various perspectives. In algebraic geometry, such Calabi-Yaus can be constructed as complete intersections in Grassmannian fibrations and as Pfaffian varieties. These constructions naturally fit into the framework of homological projective duality and lead to dual pairs of Calabi-Yaus. From a physics perspective, these spaces can be realised as low-energy configurations ("phases") of gauged linear sigma models (GLSMs) with non-Abelian gauge groups, where the dual geometries arise as phases of the same GLSM. Using the modular bootstrap approach of topological string theory, one can compute all-genus Gopakumar-Vafa invariants of these Calabi-Yaus. We observe that homological projective duality acts as an element of $Γ_0(5)$ on the topological string partition function and the partition functions of dual geometries transform into each other. Moreover, we study the geometries from an M-/F-theory perspective. We compute the F-theory spectrum and show how the genus one-fibered Calabi-Yaus are connected to certain Calabi-Yaus in toric varieties via a series of Higgs transitions. Based on the F-theory physics, we conjecture that dual geometries are elements of the same Tate-Shafarevich group. Our analysis also leads to a classification of 5-section geometries, as well as the construction of F-theory models with charge 5 hypermultiplets.

研究动机与目标

• 通过超出弦理论中对称性方法的代数几何手段，系统构建具有五节的亏格一纤维化卡拉比-丘三fold。
• 通过格拉斯曼丛和佩夫连诺构造所生成的卡拉比-丘几何之间的同调投影对偶性，建立对偶性框架。
• 利用拓扑弦理论中的模形式自举方法，计算所有亏格的格帕库马尔-瓦法不变量。
• 在这些几何上实现具有电荷 5 的超多重态的 F-theory 模型，并探讨其物理与几何意义。
• 基于 F-theory 的异常抵消和希格斯跃迁，猜想对偶几何属于同一塔特-沙法列维奇群。

提出的方法

• 在基流形上的格拉斯曼丛纤维化中，通过齐次向量丛和舒尔函子构造卡拉比-丘三fold 为完全交集。
• 在光滑的塔希克流形中，通过佩夫连诺构造实现对偶几何，利用行列式簇的结构。
• 应用同调投影对偶性，将对偶卡拉比-丘对的导出范畴关联起来，证明其在 Γ₀(5) 模形式对称下等价。
• 使用模形式自举方法，从皮卡德-富克斯算子和 5 级模形式计算格帕库马尔-瓦法不变量。
• 分析这些几何上的 F-theory 紧化，以计算谱，包括 U(1) 规范群和超多重态电荷。
• 通过余维数 3 和 5 的完全交集纤维执行希格斯跃迁，以连接至已知的弦理论卡拉比-丘几何，并研究异常抵消。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在代数几何中系统地构建超出弦理论方法的具有五节的亏格一纤维化卡拉比-丘三fold？
• RQ2 同调投影对偶性在关联具有五节的卡拉比-丘几何中起什么作用？它在拓扑弦划分函数中如何体现？
• RQ3 对偶几何的格帕库马尔-瓦法不变量在模形式对称下如何变换？何种群控制这一变换？
• RQ4 这些几何上的 F-theory 紧化能否实现电荷为 5 的超多重态？其物理意义是什么？
• RQ5 对偶几何是否通过希格斯跃迁相连？在 F-theory 紧化背景下，它们是否属于同一塔特-沙法列维奇群？

主要发现

• 作者通过格拉斯曼丛纤维化和佩夫连诺簇中的完全交集，构建了五节卡拉比-丘三fold，提供了首个超出弦理论几何的此类例子。
• 同调投影对偶性关联了对偶卡拉比-丘几何，其拓扑弦划分函数在模群 Γ₀(5) 下变换。
• 利用模形式自举方法，本文计算了对偶对 X₁ 和 Y₁ 的所有亏格格帕库马尔-瓦法不变量，表明其划分函数为 5 级模形式。
• 对偶划分函数在 E₁,₁ → −E₁,₂, E₁,₂ → E₁,₁ 下满足变换规则，确认其对偶作用同构于 Γ₀(5)。
• 这些几何中产生的 E-弦的亏格函数可用弱雅可比形式和模函数表示，共识别出五种非等价构型。
• 本文首次构建了具有电荷 5 超多重态的 F-theory 模型，通过余维数 3 和 5 纤维中的 U(1)² 和 U(1) 规范群的希格斯跃迁实现。