[论文解读] On Hermitian LCD codes from cyclic codes and their applications to orthogonal direct sum masking

Chengju Li|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于生成多项式的有限域上循环 Hermitian LCD 码的一般构造方法，利用 BCH 界确定其维度和最小距离下界，并将其应用于一种新型的 Hermitian 正交直接和掩码（ODSM）方案，以增强对故障注入攻击的抵抗能力。主要贡献在于证明了最小距离更大的码能显著提高侧信道保护方案中的故障检测能力。

ABSTRACT

Cyclic codes are an interesting type of linear codes and have wide applications in communication and storage systems due to their efficient encoding and decoding algorithms. It was proved that asymptotically good Hermitian LCD codes exist. The objective of this paper is to construct some cyclic Hermitian LCD codes over finite fields and analyse their parameters. The dimensions of these codes are settled and the lower bounds on their minimum distances are presented. Most Hermitian LCD codes presented in this paper are not BCH codes. In addition, we employ Hermitian LCD codes to propose a Hermitian orthogonal direct sum masking scheme that achieves protection against fault injection attacks. It is shown that the codes with great minimum distances are desired to improve the resistance.

研究动机与目标

• 构造有限域上具有明确定义参数的新一类循环 Hermitian LCD 码。
• 利用 BCH 界确定这些码的确切维度和最小距离下界。
• 将现有构造扩展至 BCH 码之外，因为大多数已提出的码并非 BCH 码。
• 将 Hermitian LCD 码应用于一种新型正交直接和掩码（ODSM）方案，以实现对故障攻击的防护。
• 证明码的最小距离越高，对故障注入攻击的抵抗能力越强。

提出的方法

• 通过生成多项式满足 $ g(x) = \overline{g}^{*}(x) $ 的条件，建立了循环 Hermitian LCD 码的一般构造方法，其中 $ \overline{g}^{*}(x) $ 是 $ g(x) $ 的共轭倒数多项式。
• 通过分析 $ Q $-循环陪集的定义集的 $ q $-进制展开，确定了每个码的维度。
• 基于定义集中存在 $ \delta - 1 $ 个连续元素，利用 BCH 界对最小距离进行下界估计。
• 设计了一种 Hermitian 正交直接和掩码（ODSM）方案，其中码 $ \mathcal{C} $ 及其 Hermitian 对偶 $ \mathcal{C}^{\perp_{\text{H}}} $ 作为互补子空间，用于掩码敏感数据。
• 通过检查 $ (z + \epsilon)H^{\perp_{\text{H}}}(HH^{\perp_{\text{H}}})^{-1} = y $ 是否成立来验证故障检测，该等式仅在故障 $ \epsilon $ 属于 $ \mathcal{C} $ 时成立。
• 若故障的汉明权重小于码 $ \mathcal{C} $ 的最小距离 $ d $，则该方案可确保故障被检测到。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用生成多项式在有限域上系统地构造循环 Hermitian LCD 码？
• RQ2 这些构造码的确切维度和最小距离下界是什么？
• RQ3 与已知的 BCH 码相比，这些码在结构和参数上如何？
• RQ4 Hermitian LCD 码能否有效应用于增强密码学掩码方案中的故障检测能力？
• RQ5 码的最小距离在多大程度上决定了 ODSM 中对故障注入攻击的抵抗能力？

主要发现

• 本文构造了三类不同的长度为 9、15 和 21 的循环 Hermitian LCD 码，其维度被精确确定，且最小距离通过 BCH 界得到下界估计。
• 对于 $[9,2,6]$ 码在 $\mathrm{GF}(4)$ 上，最小距离恰好为 6，且证明了汉明权重小于 6 的故障均可被检测到。
• 所构造的码并非 BCH 码，表明其属于比以往考虑的 Hermitian LCD 应用更广泛的码类。
• 使用 $ \mathcal{C} $ 和 $ \mathcal{C}^{\perp_{\text{H}}} $ 的 Hermitian ODSM 方案确保了任何汉明权重小于 $ d $ 的故障均可被检测，如定理 17 所证明。
• 一个实例表明，权重为 6 的故障 $ \epsilon_1 \in \mathcal{C} $ 无法被检测，而权重为 2 的故障 $ \epsilon_2 $ 可被检测，验证了理论界限。
• 结果表明，最小距离更大的码在掩码方案中能提供更强的故障注入攻击抵抗能力。