[论文解读] On Hopf algebras over the unique $12$-dimensional Hopf algebra without the dual Chevalley property

Rongchuan Xiong|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文使用广义提升法，对一个不具备对偶Chevalley性质的12维Hopf代数 $χ$ 上的有限维Hopf代数进行分类。通过分析 $χ$ 上Yetter-Drinfeld范畴中的严格分次图和不可约无穷小辫子结构，识别出维度为18和36的新Nichols代数，以及两族新的216维Hopf代数。该分类依赖于计算 $χ^{cop}$ 的Drinfeld双代数的投影类环，并通过斜导子显式给出关系式。

ABSTRACT

Let $\mathds{k}$ be an algebraically closed field of characteristic zero. We determine all finite-dimensional Hopf algebras over $\mathds{k}$ whose Hopf coradical is isomorphic to the unique $12$-dimensional Hopf algebra $\mathcal{C}$ without the dual Chevalley property, such that the diagrams are strictly graded and the corresponding infinitesimal braidings are indecomposable objects in ${}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$. In particular, we obtain new Nichols algebras of dimension $18$ and $36$ and two families of new Hopf algebras of dimension $216$.

研究动机与目标

• 对一个唯一的12维Hopf代数 $χ$（不具有对偶Chevalley性质）上的有限维Hopf代数进行分类。
• 确定所有满足其关联分次结构为严格分次，且其无穷小辫子结构在 ${}_{χ}^{χ}\mathcal{YD}$ 中不可约的此类Hopf代数。
• 通过广义提升法构造新的有限维Nichols代数和Hopf代数的例子。
• 计算 $χ^{cop}$ 的Drinfeld双代数的投影类环，并利用其对表示和辫子结构进行分类。

提出的方法

• 使用广义提升法，将余根基滤过替换为标准滤过 ${ A_{[n]} \u007d_{n\geq 0}$，从而得到分次Hopf代数结构 $\operatorname{gr}A \cong R \sharp \mathcal{C}$，其中 $R$ 是 ${}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$ 中的连通分次辫子Hopf代数。
• 识别 ${}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$ 中所有不可约对象 $V$，使得 $\mathcal{B}(V)$ 为有限维。
• 计算 $\mathcal{D}$ 的投影类环 $r_p(\mathcal{D}) \cong \mathbb{Z}[y_0,\dots,y_5]/J$，其中 $\mathcal{D}$ 是 $\mathcal{C}^{cop}$ 的Drinfeld双代数，$J$ 编码了简单与投影 $\mathcal{D}$-模的张量积分解。
• 使用斜导子和辫子换位子，显式给出有限维Nichols代数 $\mathcal{B}(V)$ 的生成元与关系式。
• 证明满足 $\operatorname{gr}A \cong \mathcal{B}(V) \sharp \mathcal{C}$ 的Hopf代数 $A$ 同构于 $\mathcal{B}(V) \sharp \mathcal{C}$ 或者同构于单参数变形 $\mathfrak{B}_{i,j}(\mu)$，当 $V \cong V_{1,j+3}$ 时。
• 基于 $A_{[2]}$ 中的关系和余乘法计算，通过维数计数与上同调论证，证明 $A \cong \mathfrak{B}_{i,j}(\mu)$ 对某个 $\mu \in \mathbb{k}$ 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限维Hopf代数在不具备对偶Chevalley性质的12维Hopf代数 $\mathcal{C}$ 上具有严格分次图，且在 ${}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$ 中具有不可约无穷小辫子结构？
• RQ2 有限维Nichols代数 $\mathcal{B}(V)$ 在不可约 $V \in {}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$ 上的完整生成元与关系集是什么？
• RQ3 哪些Hopf代数 $A$ 满足 $\operatorname{gr}A \cong \mathcal{B}(V) \sharp \mathcal{C}$，并且它们在同构意义下如何被分类？
• RQ4 Drinfeld双代数 $\mathcal{D} = D(\mathcal{C}^{cop})$ 的投影类环及其张量积分解如何约束 $\mathcal{B}(V)$ 和相关Hopf代数的分类？
• RQ5 通过 $\mathfrak{B}_{1,j+3}(\mu)$ 构造的216维新Hopf代数，对不同的 $\mu$ 是否两两不同构？

主要发现

• 本文构造了两族新的有限维Hopf代数，维度为216，同构于 $\mathfrak{B}_{1,j+3}(\mu)$，其中 $j \in \{1,5\}$ 且 $\mu \in \mathbb{k}$，且 $\dim \mathfrak{B}_{1,j+3}(\mu) = 216$。
• 通过生成元与关系显式给出了维度为18和36的新有限维Nichols代数，包括 $\mathcal{B}(V_{4,j})$ 和 $\mathcal{B}(V_{1,j+3})$，其中 $j \in \{1,5\}$。
• 仅当 $V$ 为单连通且同构于 $\mathds{k}_{\chi^k}$（$k \in \{1,3,5\}$）或特定 $V_{i,j}$（$(i,j) \in \Lambda \setminus \Lambda^*$）时，Nichols代数 $\mathcal{B}(V)$ 才为有限维，其中 $\Lambda = \{(i,j) \in \mathbb{I}_{0,5} \times \mathbb{I}_{0,5} \mid 3i \neq j\}$。
• 计算出 $\mathcal{C}^{cop}$ 的Drinfeld双代数 $\mathcal{D}$ 的投影类环为 $r_p(\mathcal{D}) \cong \mathbb{Z}[y_0,\dots,y_5]/J$，其中 $J$ 由如下关系生成：$y_0^6 = 1$，$y_i y_3^2 = 2y_i y_0 + y_i y_0^2 + y_i$，$y_j y_{6-j} = y_3^2$，以及对所有满足 $k+l \in \mathbb{I}_{0,5}$ 的 $k,l$，有 $y_k y_l = y_{k+l} + y_{k+l} y_0$。
• $\mathcal{B}(\mathds{k}_{\chi^k}) \sharp \mathcal{C}$（$k \in \{1,3,5\}$）之间两两不同构，不同族的 $\mathcal{B}(V_{i,j})$ 之间也因辫子结构不同而不同构。
• 当 $V \cong V_{1,j+3}$ 时，满足 $\operatorname{gr}A \cong \mathcal{B}(V) \sharp \mathcal{C}$ 的Hopf代数 $A$ 同构于 $\mathfrak{B}_{1,j+3}(\mu)$（$\mu \in \mathbb{k}$），且其同构类型依赖于 $\mu$，且 $\dim A = 216$。