[论文解读] ON INTERVALS (kn,(k + 1)n) CONTAINING A PRIME FOR ALL n > 1

Vladimir Shevelev, Charles R. Greathouse+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文证明，在所有正整数 k 中，仅当 k = 1, 2, 3, 5, 9, 14 时，对所有 n > 1，区间 (kn, (k+1)n) 内至少包含一个素数，该结论已验证至 k ≤ 50,000,000。作者引入广义 Ramanujan 素数，并利用对 Chebyshev 函数和素数计数函数的界，推导出最小 N_k(m) 的有效上界，即在该阈值之后，(kn, (k+1)n) 内至少包含 m 个素数。

ABSTRACT

We study values of k for which the interval (kn,(k+1)n) contains a prime for every n>1. We prove that the list of such integers k includes k=1,2,3,5,9,14, and no others, at least for k<=50,000,000. For every known k of this list, we give a good upper estimate of the smallest N_k(m), such that, if n>=N_k(m), then the interval (kn,(k+1)n) contains at least m primes.

研究动机与目标

• 确定所有满足对每个 n > 1，区间 (kn, (k+1)n) 内至少包含一个素数的整数 k。
• 为每个有效的 k，建立最小 N_k(m) 的有效上界，即当 n ≥ N_k(m) 时，(kn, (k+1)n) 内至少包含 m 个素数。
• 通过 v-Ramanujan 数和 v-Chebyshev 数，将 Ramanujan 的素数计数方法推广至任意 v > 1 的情形。
• 通过计算验证，除已知列表外，k ≤ 50,000,000 范围内无其他 k 满足素数包含区间条件。

提出的方法

• 将 v-Ramanujan 数 R_v(m) 定义为满足 π(x) − π(x/v) ≥ m 的最小 x。
• 将 v-Chebyshev 数 C_v(m) 定义为满足 ϑ(x) − ϑ(x/v) ≥ m ln x 的最小 x，其中 ϑ 为 Chebyshev 函数。
• 利用 Dusart 对 |ϑ(x) − x| 的显式界，推导出 C_v(m) 和 R_v(m) 的上界，从而获得 N_k(m) 的可计算上界。
• 应用有限下降法与区间覆盖技术，结合已知的素数分布定理，计算 m ≥ 1 时的 N_k(m)。
• 利用算术级数中素数的结果，定义子集 P 的素数的 (v, P)-Ramanujan 数，将方法推广至受限素数集。
• 对 k ≤ 50,000,000 进行大规模数值计算，验证仅当 k = 1, 2, 3, 5, 9, 14 时，对所有 n > 1 均满足素数包含条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些正整数 k 满足对所有 n > 1，(kn, (k+1)n) 内至少包含一个素数？
• RQ2 对每个这样的 k，最小的 N_k(m) 是多少，使得当 n ≥ N_k(m) 时，(kn, (k+1)n) 内至少包含 m 个素数？
• RQ3 广义 Ramanujan 素数的方法能否推广至素数子集，例如算术级数中的素数？
• RQ4 如何利用 Chebyshev 函数的显式界，推导出 R_v(m) 和 C_v(m) 的有效上界？
• RQ5 是否能够通过计算验证，k > 14（至 5000 万）均不满足素数包含区间条件？

主要发现

• 仅当 k = 1, 2, 3, 5, 9, 14 时，(kn, (k+1)n) 对所有 n > 1 内至少包含一个素数，且该结论已验证至所有 k ≤ 50,000,000。
• 对每个此类 k 值，本文提供了显式公式与算法，用于计算最小 N_k(m)，使得当 n ≥ N_k(m) 时，(kn, (k+1)n) 内至少包含 m 个素数。
• 当 k = 1 时，序列 N_1(m) 由 N_1(m) = (R(m) + 1)/2 给出，其中 R(m) 为第 m 个 Ramanujan 素数。
• 当 k = 2 时，公式为 N_2(m) = ⌊R_{3/2}^{(2)}(m)/3⌋，其中 R_{3/2}^{(2)}(m) 为集合 P = {p ≡ 1 mod 3} 下的第 m 个 (2, P)-Ramanujan 数。
• 本文利用 Dusart 的显式不等式 |ϑ(x) − x| ≤ 1300x / ln⁴x（对 x ≥ 2）推导出 v-Ramanujan 数与 v-Chebyshev 数的有效上界。
• 该方法已推广至素数子集 P，并计算了 P = {p ≡ 1 mod 3}、{p ≡ 2 mod 3}、{p ≡ 1 mod 4} 与 {p ≡ 3 mod 4} 的 (2, P)-Ramanujan 数序列，相应地推导出 N_k^{(P)}(m) 序列。