[论文解读] On lax transformations, adjunctions, and monads in $(\infty,2)$-categories

Rune Haugseng|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文建立了$(\infty,2)$-范畴中关于单子的三种视角之间的等价性：作为自函子范畴中的结合代数、作为单子性的右伴随，以及作为从普遍单子2-范畴出发的函子。通过格雷张量积与单纯$\infty$-范畴，它将分量为等价映射的伪自然变换识别为“图标”——一种$(\infty,2)$-范畴类比——从而实现了在所有三个框架下对单子态射的完整比较。

ABSTRACT

We use the basic expected properties of the Gray tensor product of $(\infty,2)$-categories to study (co)lax natural transformations. Using results of Riehl-Verity and Zaganidis we identify lax transformations between adjunctions and monads with commutative squares of (monadic) right adjoints. We also identify the colax transformations whose components are equivalences (generalizing the "icons" of Lack) with the 2-morphisms that arise from viewing $(\infty,2)$-categories as simplicial $\infty$-categories. Using this characterization we identify the $\infty$-category of monads on a fixed object and colax morphisms between them with the $\infty$-category of associative algebras in endomorphisms.

研究动机与目标

• 将已知的$(\infty,2)$-范畴中单子定义的等价性扩展至包含单子之间的态射。
• 通过单子性右伴随的交换正方形，刻画伴随与单子之间伪自然变换的特征。
• 将分量为等价映射的共伪自然变换识别为Lack的“图标”在$(\infty,2)$-范畴中的类比。
• 证明带有共伪态射的单子$\infty$-范畴与自函子范畴中结合代数的$\infty$-范畴等价。
• 统一单子的三种视角：作为自函子范畴中的代数、作为单子性的右伴随，以及作为从普遍单子2-范畴出发的函子。

提出的方法

• 假设$(\infty,2)$-范畴格雷张量积的基本性质（假设3.5），以定义伪与共伪函子。
• 利用Riehl–Verity与Zaganidis关于$(\infty,2)$-范畴的工作，将伴随与单子之间的伪态射与单子性右伴随的交换正方形联系起来。
• 通过$\Delta^{\mathrm{op}}$上的纤维化范畴，将分量为等价映射的共伪自然变换表征为源自单纯$\infty$-范畴的结构。
• 应用非对称$\infty$-操作理论，将单子与自函子范畴中的结合代数联系起来。
• 构造函子$\mathrm{Nat}(X,Y) \to \mathrm{Fun}^{\mathrm{colax}}(X,Y)$，将前者识别为共伪自然变换的宽子范畴，其分量为等价映射。
• 通过纤维化范畴的拉回，定义自函子范畴上的张量结构，并将其与代数结构关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$(\infty,2)$-范畴中，伴随与单子之间的伪自然变换如何与单子性右伴随的交换正方形相关联？
• RQ2 Lack的“图标”在$(\infty,2)$-范畴中的类比是什么？即分量为等价映射的共伪自然变换。
• RQ3 当包含态射时，三种单子定义（作为自函子范畴中的代数、作为单子性右伴随、作为从普遍单子2-范畴出发的函子）之间如何比较？
• RQ4 带有共伪态射的单子$\infty$-范畴与自函子范畴中结合代数的$\infty$-范畴之间有何关系？
• RQ5 能否利用单纯$\infty$-范畴与纤维化范畴的结构，将单子定义之间的等价性扩展至包含态射？

主要发现

• 在固定对象$X$上，带有共伪态射的单子$\infty$-范畴与单子范畴$\mathrm{End}(X)$中结合代数的$\infty$-范畴等价，遗忘函子对应于底层对象。
• 单子之间伪自然变换的$\infty$-范畴与$\mathrm{CAT}_\infty$中单子性右伴随的$\infty$-范畴等价，通过限制到右伴随实现。
• 分量为等价映射的共伪自然变换正是通过将$(\infty,2)$-范畴视为单纯$\infty$-范畴而产生的，提供了图标在$(\infty,2)$-范畴中的类比。
• $\mathrm{MND}(\mathrm{CAT}_\infty)^{\mathrm{colax}}$在$\infty$-范畴$C$上的纤维等价于$\mathrm{Alg}(\mathrm{End}(C))$，即$C$自函子范畴中结合代数的$\infty$-范畴。
• 通过Riehl–Verity构造与单子$T$关联的单子性右伴随等价于左$T$-模的$\infty$-范畴，与Lurie的单子性定理一致。
• 从$\mathrm{End}(X)$中结合代数到$\mathrm{End}(X)$的遗忘函子，对应于包含关系$\mathrm{Mnd}(X)^{\mathrm{colax}} \to \mathrm{End}(X)^{\mathrm{colax}}$在$X$处的纤维限制，从而建立了协调的代数结构。