[论文解读] On morphisms killing weights, weight complexes, and Eilenberg-Maclane (co)homology of spectra

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 10

一句话总结

该论文为 triangulated categories 中‘杀死权重’的态射建立了等价定义，证明了当 $\Sigma C = SH$ 且具有球面权重结构时，一个态射当且仅当在所有由 $SH[m,n]$ 中的对象表示的上同调函子下消失时，会杀死权重 $m$ 到 $n$。主要贡献是通过其 $H\mathbb{Z}$-同调对无权重 $m$ 到 $n$ 的谱进行刻画，从而建立了一个扭对，并给出了稳定 Hurewicz 定理的逆定理。

ABSTRACT

We ask whether a morphism $g$ in a triangulated category $C$ endowed with a weight structure "kills weights" (between an integer $m$ and some $n\ge m$). If $g=id_M$ (where $M\in Obj C$) and $C$ is Karoubian, then $g$ kills weights $m,\dots,n$ whenever there exists a weight decomposition of $M$ that "avoids" these weights (in the sense earlier defined by Wildeshaus). We prove the equivalence of several definitions for killing weights. In particular, we describe a family of cohomological functors that "detects" this notion. We also prove that $M$ is without weights $m,\dots, n$ (i.e., a decomposition of $M$ avoiding these weights exists) if and only if the corresponding condition is fulfilled for its weight complex $t(M)$. These results allow us to get new (stronger) results on the conservativity of the weight complex functor $t$. We study in detail the case $C=SH$ (endowed with the spherical weight structure whose heart consists of coproducts of sphere spectra); the corresponding weight complex functor is just the one calculating the $H\mathbb{Z}$-homology (whose terms are free abelian groups). In this case $g$ kills weights $m,\dots, n$ if and only if $H(g)=0$ for all $H$ represented by elements of $SH[m,n]$ (so, these morphisms form an injective class of morphisms in the sense defined by Christensen; yet this class is not stable with respect to shifts). Moreover, for any spectrum $M$ there exists a "weakly universal decomposition" $P o M o I_0$ for $I_0\in SH[m,n]$ and $P$ being without weights $m,\dots,n$ (so, we obtain a torsion pair). We also prove a certain converse to the stable Hurewicz theorem.

研究动机与目标

• 在具有权重结构的三角范畴中，定义并刻画‘杀死’指定权重 $m$ 到 $n$ 的态射。
• 证明‘杀死权重’的多种定义等价，包括通过可表示函子的上同调检测。
• 证明一个对象 $M$ 无权重 $m$ 到 $n$ 当且仅当其权重复形 $t(M)$ 也满足相同条件，从而增强了权重复形函子的保守性。
• 分析稳定同伦范畴 $SH$ 在球面权重结构下的情形，此时‘杀死权重’等价于 $H\mathbb{Z}$-同调的消失。
• 证明杀死权重 $m$ 到 $n$ 的态射类构成一个内射类（尽管不关于移位封闭），并为任意谱构造一个弱普遍分解。

提出的方法

• 通过与特定截断态射 $w_{\leq n}M \to w_{\leq m-1}N$ 的相容性，引入杀死权重 $m$ 到 $n$ 的态射的概念。
• 利用 $SH[m,n]$ 中的可表示上同调理论，证明基于态射的定义与上同调消失条件之间的等价性。
• 应用权重复形函子 $t$，将对象上的权重条件转化为其权重复形上的条件，利用其保守性。
• 构造一个弱普遍分解 $P \to M \to I_0$，其中 $P$ 无权重 $m$ 到 $n$ 且 $I_0 \in SH[m,n]$，形成一个扭对。
• 在非 Karoubian 范畴中使用反例，表明在缺乏 Karoubian 假设时，关键结果（如分解的存在性）可能不成立。
• 分析 $SH$ 上的球面权重结构，证明 $g$ 杀死权重 $m$ 到 $n$ 当且仅当对所有由 $SH[m,n]$ 中的对象表示的 $H$，有 $H(g) = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有权重结构的三角范畴中，态射 $g$ 在什么情况下会杀死权重 $m$ 到 $n$？
• RQ2 ‘杀死权重’的多种定义是否等价？哪些上同调函子可以检测该性质？
• RQ3 在什么条件下，一个对象 $M$ 无权重 $m$ 到 $n$ 当且仅当其权重复形 $t(M)$ 也无这些权重？
• RQ4 权重复形函子如何与 $SH$ 中权重结构的保守性相关联？
• RQ5 能否为任意谱 $M$ 构造一个弱普遍分解，使得核避开权重 $m$ 到 $n$？

主要发现

• 当 $\underline{C} = SH$ 时，态射 $g$ 杀死权重 $m$ 到 $n$ 当且仅当对所有由 $SH[m,n]$ 中的对象表示的上同调函子 $H$，有 $H(g) = 0$。
• 一个对象 $M$ 无权重 $m$ 到 $n$ 当且仅当其权重复形 $t(M)$ 也无这些权重，从而增强了 $t$ 的保守性。
• 对任意谱 $M$，存在一个弱普遍分解 $P \to M \to I_0$，其中 $P$ 无权重 $m$ 到 $n$ 且 $I_0 \in SH[m,n]$，构成一个扭对。
• 杀死权重 $m$ 到 $n$ 的态射类在 Christensen 意义下是内射的，但不关于移位封闭。
• 在非 Karoubian 范畴中，即使有界，无权重 $m$ 到 $n$ 的对象也可能不具有避开这些权重的分解。
• 该论文通过利用 $H\mathbb{Z}$-同调对 $SH$ 中‘杀死权重’的刻画，给出了稳定 Hurewicz 定理的逆定理。