[论文解读] On $Q$-Tensors

Zheng‐Hai Huang, Yun-Yang Suo+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 22被引用 11

一句话总结

本文通过证明在强 $P_0$-张量或非负张量类中，$R_0$-张量、$R$-张量、$ER$-张量与 $Q$-张量之间的等价性，将两个经典的 $Q$-矩阵结果推广至张量空间。此外，本文表明三个著名的 $Q$-矩阵定理无法推广至张量情形，从而对宋和齐近期提出的问题给出了否定回答。

ABSTRACT

One of the central problems in the theory of linear complementarity problems (LCPs) is to study the class of $Q$-matrices since it characterizes the solvability of LCP. Recently, the concept of $Q$-matrix has been extended to the case of tensor, called $Q$-tensor, which characterizes the solvability of the corresponding tensor complementarity problem -- a generalization of LCP; and some basic results related to $Q$-tensors have been obtained in the literature. In this paper, we extend two famous results related to $Q$-matrices to the tensor space, i.e., we show that within the class of strong $P_0$-tensors or nonnegative tensors, four classes of tensors, i.e., $R_0$-tensors, $R$-tensors, $ER$-tensors and $Q$-tensors, are all equivalent. We also construct several examples to show that three famous results related to $Q$-matrices cannot be extended to the tensor space; and one of which gives a negative answer to a question raised recently by Song and Qi.

研究动机与目标

• 将关于 $Q$-矩阵的两个基本结果推广至张量设置，特别关注 $Q$-张量及相关类。
• 研究关于 $Q$-矩阵的经典定理是否可推广至张量空间，尤其关注张量类的可解性与等价性。
• 通过反例证明某些著名的 $Q$-矩阵性质在 $Q$-张量中不成立。
• 解决宋和齐近期提出的关于 $Q$-矩阵结果向张量推广的开放问题。

提出的方法

• 作者分析了在强 $P_0$-张量或非负张量子类中，$Q$-张量及其相关类——$R_0$-张量、$R$-张量、$ER$-张量——的结构。
• 在给定约束下，通过张量空间中的结构性与拓扑性论证，建立了 $R_0$-张量、$R$-张量、$ER$-张量与 $Q$-张量之间的等价性。
• 构造反例以证伪三个经典 $Q$-矩阵定理向张量情形的推广，尤其关注可解性与连续性性质。
• 证明技术依赖于非负张量的性质及 $P_0$-张量的定义，利用张量的广义互补框架。
• 对宋和齐的近期猜想进行了关键性分析，通过显式构造反例得出了否定结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 已知 $Q$-矩阵中 $R_0$-张量、$R$-张量、$ER$-张量与 $Q$-张量之间的等价性，该等价性能否推广至张量设置？
• RQ2 刻画 $Q$-矩阵的经典定理——特别是与可解性和连续性相关的定理——是否对 $Q$-张量成立？
• RQ3 宋和齐提出的猜想，即 $Q$-矩阵结果可推广至张量，该猜想在张量互补问题框架中是否成立？
• RQ4 张量的何种结构性质导致某些 $Q$-矩阵定理无法推广至张量空间？

主要发现

• 在强 $P_0$-张量或非负张量类中，$R_0$-张量、$R$-张量、$ER$-张量与 $Q$-张量全部等价。
• 通过张量空间中的结构性分析与拓扑性质，建立了这四类张量的等价性。
• 三个经典 $Q$-矩阵定理无法推广至张量设置，已通过构造的反例予以证明。
• 其中一个反例对宋和齐近期提出的关于 $Q$-矩阵结果向张量推广的开放问题给出了否定回答。
• 结果凸显了矩阵与张量互补问题之间的根本差异，尤其体现在可解性与连续性方面。