研究动机与目标

提出的方法

作者定义了新映射G(t,s) = 1/((b−a)(d−c)) ∫∫ f(tx+(1−t)(a+b)/2, sy+(1−s)(c+d)/2) dxdy，定义域为Δ。
利用协调拟凸性的定义，证明G在[0,1]×[0,1]上为坐标凸函数。
在f关于其变量满足L-Lipschitz条件的假设下，证明映射G为Lipschitz连续。
证明过程利用三角不等式与Lipschitz条件，将差值|G(t₂,s₂)−G(t₁,s₁)|以|t₂−t₁|与|s₂−s₁|的形式有界。
关键步骤是将基于凸性的不等式对t与s进行积分，从而导出最终的二重积分上界。
最终不等式将f在Δ上的平均值与角点、边中点及中心点(a+b)/2, (c+d)/2处的f值加权和联系起来。

映射G(t,s)在[0,1]×[0,1]上为坐标凸函数，推广了原函数f的行为。
G(t,s)的下确界出现在(0,0)，其值为f((a+b)/2, (c+d)/2)，而上确界出现在(1,1)，其值为f在Δ上二重积分的平均值。
在L-Lipschitz条件下，G被证明为Lipschitz连续，其上界与(b−a)|t₂−t₁| + (d−c)|s₂−s₁|成正比。
本文推导出一个紧致不等式：f的二重积分上界为角点、边中点及中心点处f值的加权和。
最终不等式为紧致不等式，当f为协调凸函数时，退化为已知结果。
该上界表达式为：∫∫f/(b−a)(d−c) ≤ (1/4)[f(a,c)+f(b,c)+f(a,d)+f(b,d)]/4 + [f((a+b)/2,c)+f((a+b)/2,d)]/2 + f((a+b)/2,(c+d)/2)。