[论文解读] On some partitions of an affine flag variety

Xuhua He|ArXiv.org|Oct 27, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过扭曲共轭作用引入仿射旗簇的分层结构，推广了有限型 Deligne-Lusztig 与 Springer 纤维构造。它建立了仿射 Deligne-Lusztig 任意的非空性与维数，与扩展仿射 Hecke 代数中类多项式非零性与次数之间的精确对应关系，证明了所有通过上同调构造的表示均来自经典群中的有限维子簇。

ABSTRACT

In this paper, we discuss some partitions of affine flag varieties. These partitions include as special cases the partition of affine flag variety into affine Deligne-Lusztig varieties and the affine analogue of the partition of flag varieties into $\cb_w(b)$ introduced by Lusztig in \cite{L1} as part of the definition of character sheaves. Among other things, we give a formula for the dimension of affine Deligne-Lusztig varieties for classical loop groups in terms of degrees of class polynomials of extended affine Hecke algebra. We also prove that any simple $GL_n(\FF_q((\e)))$-module occurs as a subquotient of the cohomology of affine Deligne-Lusztig variety $X_w(1)$ for some $w$ in the extended affine Weyl group $\ZZ^n times S_n$ must occurs for some $w$ in the finite Weyl group $S_n$. Similar result holds for $Sp_{2n}$.

研究动机与目标

• 通过扭曲共轭作用，将有限型 Deligne-Lusztig 与 Springer 纤维的分层结构推广至仿射旗簇设定。
• 利用扩展仿射 Hecke 代数的类多项式，确定仿射 Deligne-Lusztig 任意的非空性与维数。
• 证明所有由 GL_n 与 Sp_{2n} 的仿射 Deligne-Lusztig 任意的上同调构造出的中心化子的简单表示，均来自有限 Weyl 群元素。

提出的方法

• 在循环群 G(L) 上引入使用自同态 σ_a 或 Frobenius 自同态 σ_F 的扭曲共轭作用。
• 将仿射 Deligne-Lusztig 任意 X_{w,σ}(b) 定义为 G(L)/I 的子集，其中 g^{-1}bσ(g) ∈ I·w·I。
• 为经典扩展仿射 Hecke 代数构造类多项式，推广 Geck-Rouquier 的有限情形。
• 证明 dim(X_{w,σ}(b)) 等于涉及类多项式次数与元素长度的公式。
• 利用分层结构 G(L) = ⊔_{[w]} G(L)·_σ I·w·I 分析这些任意的结构。
• 应用关于超区分与严格正双分拆的结果，刻画具有单共轭类的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 仿射 Deligne-Lusztig 任意的非空性与维数如何与扩展仿射 Weyl 群的代数不变量相关？
• RQ2 仿射 Deligne-Lusztig 任意的上同调能否实现中心化子群 Z_{G(L),σ}(b) 的所有简单表示？
• RQ3 对于哪些 b ∈ G(L) 与 w ∈ ˜W，X_{w,σ}(b) 是有限维或非空的？
• RQ4 在何种条件下，中心化子 Z_{G(L),σ}(b) 在 X_{w,σ}(b) 的上同调上作用平凡？
• RQ5 在何种条件下，X_{w,σ}(b) 的上同调能实现 Z_{G(L),σ}(b) 的所有简单表示？

主要发现

• 在经典群中，X_{w,σ}(b) 的非空性恰好对应于扩展仿射 Hecke 代数中某些类多项式的非零性。
• X_{w,σ}(b) 的维数由涉及类多项式次数与 w 的长度的公式给出。
• 对于 GL_n 与 Sp_{2n}，任何由 X_w(1) 的上同调构造出的 GL_n(F_q((ε)))-模，若为简单模，则必来自有限 Weyl 群元素 w ∈ S_n。
• 对于 PGL_n 与 PSp_{2n} 的恒同连通分支，当 b 为正则半单元或超基本元素时，所有由上同调构造的 Z_{G(L),σ}(b) 表示均来自有限维子簇。
• 当 f^{-1}(a) 为单共轭类时，其对应于超区分或严格正双分拆，且中心化子作用通过有限商群实现。
• 对于 PGL_n 中的超基本元素 τ，所有由上同调构造的 Z_{G(L),σ}(τ) 表示均为平凡表示，因为 X_{w,σ}(τ) 被包含在 T(L)I/I 中。