[论文解读] On symplectic isomorphims of the p-torsion of elliptic curves

Nuno Freitas, Alain Kraus|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文基於最小 Weierstrass 模型的標準不變量，建立了一個準則，用以判斷在具有潛在良好還原且半穩定缺陷為 3 的 $\mathbb{Q}_\ell$ 上的兩條橢圓曲線的 $p$-torsion 點之間，是否存在辛 Galois 模同構。該方法解決了 Mazur 對於 $\mathbb{Q}$ 上非同源橢圓曲線之間辛同構存在的疑問，並提供了辛與反辛情形的明確例子。

ABSTRACT

Let $\ell$ and $p$ be distinct prime numbers with $p\geq 3$. Let $E/\mathbb{Q}_{\ell}$ and $E'/\mathbb{Q}_{\ell}$ be elliptic curves defined over $\mathbb{Q}_{\ell}$, having potentially good reduction with a defect of semi-stability of order 3. We suppose that the Galois modules $E[p]$ and $E'[p]$ of their $p$-torsion points are isomorphic, and that their field of $p$-torsion points is non-abelian over $\mathbb{Q}_{\ell}$. We establish a criterion, in terms of the standard invariants associated to minimal Weierstrass models of $E$ and $E'$, allowing to decide if there is a symplectic (i.e. compatible with the Weil pairings) Galois modules isomorphism $ \phi : E[p] o E'[p] $. Furthermore, we apply our method to provide examples answering a question raised by B. Mazur concerning the existence of such isomorphism $\phi$ between two non-isogenous elliptic curves defined over $\mathbb{Q}$. We also provide examples answering the anti-symplectic variant of the same question.

研究动机与目标

• 判斷 $E[p]$ 與 $E'[p]$ 之間的 Galois 模同構是否為辛，即是否與 Weil 配對相容。
• 回應 B. Mazur 對於 $\mathbb{Q}$ 上非同源橢圓曲線之間辛同構存在性的疑問。
• 將分析擴展至反辛情形，提供辛與非辛同構的明確例子。
• 利用曲線的最小 Weierstrass 模型中的不變量，建立一個判斷準則。

提出的方法

• 作者分析具有潛在良好還原且半穩定缺陷為 3 的橢圓曲線的 $p$-torsion 點上的 Galois 作用結構。
• 他們使用最小 Weierstrass 模型中的標準不變量——特別是 $j$-不 invariant 和導子指數——來構造該準則。
• 該準則用於判斷同構 $\phi: E[p] \to E'[p]$ 是否尊重 Weil 配對，即是否為辛。
• 該方法依賴於 $\mathbb{Q}_\ell$ 上 $p$-torsion 域的非交換性，以限制可能的 Galois 表示。
• 透過比較 Weierstrass 模型的不變量，作者推導出辛性成立的必要且充分條件。
• 該構造被應用於在 $\mathbb{Q}$ 上產生明確例子，展示非同源曲線之間 $p$-torsion 模的同構存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，$E[p]$ 與 $E'[p]$ 之間的 Galois 模同構會保持 Weil 配對，從而成為辛同構？
• RQ2 如 Mazur 所暗示，是否存在於 $\mathbb{Q}$ 上定義的非同源橢圓曲線之間的辛同構？
• RQ3 最小 Weierstrass 模型的哪些不變量決定了 $p$-torsion 模同構的辛性？
• RQ4 反辛同構是否也存在於非同源曲線之間，以及如何構造它們？
• RQ5 半穩定缺陷為 3 的影響如何影響 $p$-torsion 上 Galois 作用的結構？

主要发现

• 建立了一個準則，可利用 $E$ 與 $E'$ 的最小 Weierstrass 模型中的不變量，判斷 Galois 模同構 $\phi: E[p] \to E'[p]$ 是否為辛。
• 該準則專門適用於具有潛在良好還原且半穩定缺陷為 3 的 $\mathbb{Q}_\ell$ 上的橢圓曲線。
• 作者構造了 $\mathbb{Q}$ 上非同源橢圓曲線的明確例子，其 $p$-torsion 模之間存在辛同構，從而正面回答了 Mazur 的疑問。
• 亦提供了反辛情形的例子，證明此類同構可獨立於辛同構而存在。
• $\mathbb{Q}_\ell$ 上 $p$-torsion 域的非交換性在區分辛與非辛情形中至關重要。
• 該方法成功地將辛同構問題簡化為對標準 Weierstrass 不變量的比較，從而實現演算法上的驗證。