[论文解读] On the absence of the RIP in real-world applications of compressed sensing and the RIP in levels

Alexander Bastounis, Anders C. Hansen|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 44被引用 20

一句话总结

本文证明，在磁共振成像（MRI）、计算机断层扫描（CT）和电子显微镜等实际压缩感知应用中，受限等距性质（RIP）不成立，原因在于基于层级的重建基的结构。为解决此问题，作者提出了‘层级受限等距性质’（RIP-L），这是一种广义框架，可在每个稀疏度层级内实现统一恢复，为实际压缩感知成功提供了更准确的理论基础。

ABSTRACT

The purpose of this paper is twofold. The first is to point out that the Restricted Isometry Property (RIP) does not hold in many applications where compressed sensing is successfully used. This includes fields like Magnetic Resonance Imaging (MRI), Computerized Tomography, Electron Microscopy, Radio Interferometry and Fluorescence Microscopy. We demonstrate that for natural compressed sensing matrices involving a level based reconstruction basis (e.g. wavelets), the number of measurements required to recover all $s$-sparse signals for reasonable $s$ is excessive. In particular, uniform recovery of all $s$-sparse signals is quite unrealistic. This realisation shows that the RIP is insufficient for explaining the success of compressed sensing in various practical applications. The second purpose of the paper is to introduce a new framework based on a generalised RIP-like definition that fits the applications where compressed sensing is used. We show that the shortcomings that show that uniform recovery is unreasonable no longer apply if we instead ask for structured recovery that is uniform only within each of the levels. To examine this phenomenon, a new tool, termed the 'Restricted Isometry Property in Levels' is described and analysed. Furthermore, we show that with certain conditions on the Restricted Isometry Property in Levels, a form of uniform recovery within each level is possible. Finally, we conclude the paper by providing examples that demonstrate the optimality of the results obtained.

研究动机与目标

• 挑战受限等距性质（RIP）是实际压缩感知应用成功基础的假设。
• 证明RIP对许多实际压缩感知矩阵不成立，特别是使用基于层级的重建基（如小波）的矩阵。
• 提出一种新的理论框架——RIP-L，以更好地捕捉实际压缩感知问题的结构。
• 证明在RIP-L下，即使全局统一恢复不可行，每个稀疏度层级内的统一恢复也是可行的。
• 提供理论和数值证据，证明RIP-L框架的最优性与实际相关性。

提出的方法

• 提出‘翻转测试’作为一种实用方法，用于在实际应用中否定特定矩阵的RIP。
• 提出层级受限等距性质（RIP-L）作为经典RIP的推广，其中恢复仅在预定义的稀疏度层级内保持统一。
• 通过参数 $\mathbf{s}$ 和 $\mathbf{M}$ 定义RIP-L，采用分块结构的稀疏模式，允许在每个层级内实现结构化恢复。
• 分析RIP-L下的鲁棒null空间性质，以建立稳定且鲁棒的 $\ell^1$-最小化恢复条件。
• 利用依赖于参数 $C$、$\rho$ 和 $\tau$ 的矩阵构造反例，以证明经典RIP的失效与RIP-L的有效性。
• 采用柯西-施瓦茨不等式和 $\ell^1$-$\ell^2$ 范数不等式，推导恢复误差的界，并验证RIP-L下的零空间性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何经典受限等距性质（RIP）在实际压缩感知应用（如MRI和CT）中不成立？
• RQ2 基于层级的重建基（如小波）的结构在多大程度上阻止了RIP在合理稀疏度水平下成立？
• RQ3 能否构建一种广义的RIP框架，以更好地模拟实际压缩感知中观察到的实际恢复行为？
• RQ4 在何种条件下，层级受限等距性质（RIP-L）可实现在每个稀疏度层级内的统一恢复？
• RQ5 与经典RIP相比，RIP-L在测量复杂度和恢复稳定性方面的理论保证如何？

主要发现

• 由于基于层级的重建基的结构，经典RIP在磁共振成像（MRI）、计算机断层扫描（CT）、电子显微镜及其他实际压缩感知应用的矩阵中不成立。
• 对于具有小波基稀疏性的实际矩阵，经典RIP下实现所有 $s$-稀疏信号的统一恢复所需的测量数过多且不切实际。
• 提出层级受限等距性质（RIP-L）作为广义框架，可在每个稀疏度层级内实现统一恢复，避免全局统一恢复的不可行性。
• 在RIP-L的某些条件下，即使经典RIP不成立，每个层级内仍可实现稳定且鲁棒的 $\ell^1$-最小化恢复。
• 理论反例表明，对于涉及 $C^2$ 和 $\omega(\rho,C)$ 的稀疏模式矩阵，经典RIP失效，而RIP-L依然有效。
• 本文证明了当 $\eta_{\mathbf{s,M}}$ 较大时，$\|z - z^1\|_2 = 1 > \frac{\sigma_{\mathbf{s,M}}(z^1)_1}{\sqrt{\tilde{s}}} f(\eta_{\mathbf{s,M}})$，确认了经典RIP的失效，支持了RIP-L的必要性。