[论文解读] On the average number of 2-Selmer elements of elliptic curves over F_q(X) with two marked points

Jack A. Thorne|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文研究了在函数域 F_q(X) 上的椭圆曲线，其带有两个标记的非扭有理点，重点关注一个特定子族。证明了该族中 2- Selmer 群的平均大小恰好为 12，并表明 2-Selmer 元素在映射到 G-主丛的模空间（G ≅ SL₂⁴）时，在极限下趋于均匀分布。

ABSTRACT

We consider elliptic curves over global fields of positive characteristic with two distinct marked non- trivial rational points. Restricting to a certain subfamily of the universal one, we show that the average size of the 2-Selmer groups of these curves exists, in a natural sense, and equals 12. Along the way, we consider a map from these 2-Selmer groups to the moduli space of G-torsors over an algebraic curve, where G is isogenous to SL_2^4 , and show that the images of 2-Selmer elements under this map become equidistributed in the limit.

研究动机与目标

• 研究 F_q(X) 上特定子族椭圆曲线的 2-Selmer 群平均大小，其带有两个不同的非平凡有理点。
• 分析 2-Selmer 元素在 G-主丛模空间中的分布，其中 G 与 SL₂⁴ 同源。
• 确立该族中 2-Selmer 群自然平均大小的存在性。
• 证明在几何映射至模空间的极限下，2-Selmer 元素趋于均匀分布。

提出的方法

• 将注意力限制在 F_q(X) 上带有两个标记非扭有理点的椭圆曲线通用族的一个子族。
• 定义从 2-Selmer 群到 G-主丛模空间的映射，其中 G 与 SL₂⁴ 同源。
• 利用正特征全球域上的几何与算术技术，分析该映射下 2-Selmer 元素的像。
• 在 q → ∞ 的极限下应用均匀分布结果，利用模空间的结构。
• 利用主丛的几何性质与函数域的算术性质，控制 2-Selmer 集的大小与分布。
• 运用代数几何与算术统计的工具，计算 2-Selmer 平均大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特定子族中，带有两个标记非扭有理点的 F_q(X) 上椭圆曲线的 2-Selmer 群平均大小是多少？
• RQ2 当 2-Selmer 元素映射到 G-主丛模空间（G 与 SL₂⁴ 同源）时，其分布如何？
• RQ3 当 q → ∞ 时，该映射下 2-Selmer 元素的像是否趋于均匀分布？
• RQ4 能否在该几何设定下证明 2-Selmer 群的平均大小存在且为有限值？
• RQ5 G-主丛模空间的结构在控制 Selmer 群的大小与分布中起什么作用？

主要发现

• 在指定子族的椭圆曲线中，2-Selmer 群的平均大小恰好为 12。
• 2-Selmer 元素在映射到 G-主丛模空间（G ≅ SL₂⁴）时，在 q → ∞ 的极限下趋于均匀分布。
• 该族中 2-Selmer 群自然平均大小的存在性得以确立。
• 至 G-主丛模空间的几何映射为分析分布与大小提供了关键工具。
• 该结果依赖于算术统计与函数域上主丛几何之间深刻的相互作用。
• 均匀分布结果在有限域大小 q 递增的极限下成立。