[论文解读] Pencils of quadrics and the arithmetic of hyperelliptic curves

Manjul Bhargava, Benedict H. Gross+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用 16

一句话总结

本文证明，对于 genus g ≥ 1 的有理数 ℚ 上的双椭圆曲线，存在正比例的曲线在局部可解，但在任何奇数次扩张 ℚ 上均无有理点，且随着 genus 增大，该比例趋近于 1。通过在特征 ≠ 2 的域上研究二次曲面的线性系，并结合数的几何工具，作者表明这些 Hasse 原理的失效由 Brauer–Manin 障碍所解释。

ABSTRACT

A hyperelliptic curve over $\mathbb Q$ is called if it has a point over every completion of $\mathbb Q$. In this paper, we prove that a positive proportion of hyperelliptic curves over $\mathbb Q$ of genus $g\geq 1$ are locally soluble but have no points over any odd degree extension of $\mathbb Q$. We also obtain a number of related results. For example, we prove that for any fixed odd integer $k > 0$, the proportion of locally soluble hyperelliptic curves over $\mathbb Q$ of genus $g$ having no points over any odd degree extension of $\mathbb Q$ of degree at most $k$ tends to 1 as $g$ tends to infinity. We also show that the failures of the Hasse principle in these cases are explained by the Brauer-Manin obstruction. Our methods involve a detailed study of the geometry of pencils of quadrics over a general field of characteristic not equal to 2, together with suitable arguments from the geometry of numbers.

研究动机与目标

• 研究在 ℚ 上局部可解但在任何奇数次扩张上均无有理点的双椭圆曲线的普遍性。
• 确定当 genus g 趋近于无穷时，此类曲线的渐近密度。
• 确立在这些情况下 Hasse 原理的失效由 Brauer–Manin 障碍所支配。
• 基于特征 ≠ 2 的一般域上的二次曲面线性系，建立一个几何框架。

提出的方法

• 分析特征不等于 2 的域上的二次曲面线性系，以理解其有理点行为。
• 应用数的几何技术，研究曲线族中整数解与有理点的性质。
• 利用二次曲面线性系的结构，模拟局部可解性与全局障碍。
• 建立 Brauer–Manin 障碍与奇数次扩张上无有理点之间的联系。
• 采用概率与渐近方法，计算在 genus 增大时此类曲线的密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℚ 上局部可解的双椭圆曲线中，有多少比例在任何奇数次扩张 ℚ 上均无有理点？
• RQ2 当曲线的 genus g 趋近于无穷时，该比例如何变化？
• RQ3 在这些情况下，Hasse 原理的失效是否由 Brauer–Manin 障碍所解释？
• RQ4 奇数次扩张中理性点障碍的几何结构是什么？

主要发现

• 在 ℚ 上 genus g ≥ 1 的双椭圆曲线中，存在正比例的曲线局部可解，但在任何奇数次扩张上均无有理点。
• 对于任意固定的奇数 k > 0，当 g → ∞ 时，无有理点的局部可解双椭圆曲线在度数 ≤ k 的奇数次扩张上的比例趋近于 1。
• Brauer–Manin 障碍是这些情况下 Hasse 原理失效的原因。
• 对特征 ≠ 2 的域上二次曲面线性系的研究，为分析此情境下的有理点提供了关键的几何框架。