[论文解读] On the Bloch-Kato conjecture for GSp(4)

David Loeffler, Sarah Livia Zerbes|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 15

一句话总结

本文证明了与亏格2 Siegel模形式的旋轉伽罗瓦表示相关的欧拉系的显式互惠律，建立了欧拉系类与该p进旋轉L函数非临界值之间的联系。关键结果是将规范欧拉系类的Bloch–Kato对数用p进L值表示，这在轻度权条件及在p处无ramification、Klingen-ordinary假设下，蕴含了Iwasawa主猜想的一个包含关系，以及在临界扭的动机的解析秩0情形下Bloch–Kato猜想的成立。

ABSTRACT

We prove an explicit reciprocity law for the Euler system attached to the spin motive of a genus 2 Siegel modular form. As consequences, we obtain one inclusion of the Iwasawa Main Conjecture for such motives, and the Bloch--Kato conjecture in analytic rank 0 for their critical twists.

研究动机与目标

• 建立一个显式互惠律，将亏格2 Siegel模形式的旋轉伽罗瓦表示的欧拉系与该p进旋轉L函数的临界值和非临界值联系起来。
• 在轻度权与水平条件之下，证明该旋轉动机的Iwasawa主猜想的一个包含关系。
• 在欧拉系非零的假设下，验证临界扭的动机在解析秩0情形下的Bloch–Kato猜想。
• 将p进上同调与凝聚上同调的框架扩展至处理GSp(4) Shimura簇与EKOR子簇中的调节子问题。
• 提供一个对任意水平均成立的p进调节子公式，假设r1−r2≥3，从而拓展至更广泛的算术应用。

提出的方法

• 利用有限多项式上同调与刚性纯上同调，将欧拉系类与上同调调节子联系起来。
• 通过在Siegel三重的整模型上的一系列上同调下降与对偶性论证，将调节子计算约化为凝聚上同调中的配对。
• 应用高阶Hida理论中的p进插值技术，构造一个插值旋轉L函数临界值的p进L函数。
• 利用形变理论与Hida族，将非临界p进L值与欧拉系类的Bloch–Kato对数联系起来。
• 运用GAGA原理与比较定理，将边界子簇的刚性上同调与Betti上同调及自守表示联系起来。
• 应用EKOR子簇与若尔当-托里奇紧化理论，分析乘法-普通局部的上同调及其边界分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 GSp(4)的规范欧拉系类的Bloch–Kato对数如何用p进L值表示？
• RQ2 欧拉系与亏格2 Siegel模形式的旋轉动机的p进L函数之间的确切关系为何？
• RQ3 欧拉系的非零性在多大程度上蕴含了临界扭的动机在解析秩0情形下的Bloch–Kato猜想？
• RQ4 在GSp(4) Shimura簇的背景下，能否通过凝聚上同调与刚性纯上同调计算欧拉系类的调节子？
• RQ5 乘法-普通局部及其边界子簇的上同调群如何贡献于全局调节子的计算？

主要发现

• 规范欧拉系类z[Π,q,r]can(χ)的Bloch–Kato对数被证明等于一个非临界p进旋轉L函数值，至多相差一个依赖于基νdR选择的非零常数。
• 显式互惠律在Π在p处无ramification且为Klingen-ordinary，且r1−r2≥3的假设下成立。
• 通过凝聚上同调计算调节子，可推得欧拉系类在解析秩0情形下非平凡地映射到Bloch–Kato Selmer群。
• 作为互惠律的推论，旋轉伽罗瓦表示的Iwasawa主猜想的一个包含关系得以确立。
• 在欧拉系非零的假设下，所有临界扭的动机在解析秩0情形下的Bloch–Kato猜想均被证明成立。
• p进调节子公式对任意水平均成立，且在轻度权条件r1−r2≥3下有效，将先前结果推广至更广的自守形式类。