[论文解读] On the Chow theory of Quot schemes of locally free quotients

Qingyuan Jiang|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文在满足预期维数条件的前提下，为 Cohen-Macaulay 算术基本域上的相干层的局部自由商的 Quot 算术基本域建立了通用的 Chow 群公式。该公式通过将 Chow 群分解为具有 Grassmannian 贝蒂数权重的退化点集解析的 Chow 群之和，统一了已知的关于 Grassmannian 线丛、爆破、Cayley 技巧以及翻转/翻折的结果。

ABSTRACT

We prove a formula for Chow groups of $Quot$-schemes which resolve degeneracy loci of a map between vector bundles, under expected dimension conditions. This result provides a unified way to understand known formulae for various geometric situations such as blowups, Cayley's trick, projectivizations, Grassmannian bundles, flops from Springer type resolutions, as well as provide new phenomena such as formulae for Grassmannain type flips/flops and virtual flips. We also give applications to blowups of determinantal ideals, moduli spaces of linear series on curves, and Hilbert schemes of points on surfaces.

研究动机与目标

• 为通过解析退化点集来解决向量丛映射的 Chow 群提供一个统一的框架。
• 在一个统一的结构公式中推广经典公式——如 Grassmannian 线丛、爆破和 Cayley 技巧的公式。
• 以 Lefschetz 扭转和对偶化层解析的 Chow 群为术语，建立 Quot 算术基本域的动机分解。
• 在 Quot 算术基本域的背景下，验证 derived algebraic geometry 中关于 Chow 群结构的一个猜想。
• 将该公式应用于曲线上的线性系列模空间和曲面上点的 Hilbert 算术基本域。

提出的方法

• 利用层的秩及其对偶化层，推导 Quot 算术基本域的整数 Chow 群的分解。
• 在 Chow 群分解中使用 Grassmannian 的 Betti 数作为多重性因子。
• 应用 Quot-公式：$ CH^k(\mathfrak{Quot}_{X,d}(\mathscr{G})) \simeq \bigoplus_{j=0}^{\min\{d,\delta\}} \bigoplus_{\ell=0}^{j(\delta-j)} CH^{k-(d-j)(\delta-j)-\ell}(\mathfrak{Quot}_{X,d-j}(\mathscr{K}))^{\oplus b_{\ell}^{(j,\delta)}} $，其中 $\mathscr{K} = \mathcal{E}xt^1_{\mathcal{O}_X}(\mathscr{G}, \mathcal{O}_X)$。
• 利用 Lefschetz 扭转 $L = 1(-1)$ 构造动机分解，得到 $ h(\mathfrak{Quot}_{X,d}(\mathscr{G})) = \bigoplus_{j,\ell} \left( h(\mathfrak{Quot}_{X,d-j}(\mathscr{K})) \otimes L^{(d-j)(\delta-j)+\ell} \right)^{\oplus b_{\ell}^{(j,\delta)}} $。
• 利用对偶性和陈类计算，关联不同 Quot 算术基本域的 Chow 群，特别是在翻转和翻折的情形下。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不同几何背景下统一描述解析退化点集的 Quot 算术基本域的 Chow 群？
• RQ2 当退化点集具有预期维数时，Chow 群的精确结构是什么？
• RQ3 Quot-公式能否统一已知结果，如爆破公式、投影化和 Cayley 技巧？
• RQ4 在翻转或翻折情形下，$ \mathfrak{Quot}_{X,d}(\mathscr{G}) $ 与 $ \mathfrak{Quot}_{X,d-\delta}(\mathscr{K}) $ 之间有何关系？
• RQ5 Grassmannian 的 Betti 数如何自然地作为 Chow 群分解中的多重性因子出现？

主要发现

• 当 $ d \leq \delta $ 时，Quot 算术基本域 $ \mathfrak{Quot}_{X,d}(\mathscr{G}) $ 在一般情况下是 $ X $ 上的 Grassmannian 线丛，其 Chow 群分解包括来自 Grassmannian 纤维和退化点集解析的贡献。
• 当 $ d > \delta $ 时，Quot 算术基本域与 $ \mathfrak{Quot}_{X,d-\delta}(\mathscr{K}) $ 通过一次翻转而有理等价，且 $ \mathfrak{Quot}_{X,d-\delta}(\mathscr{K}) $ 的 Chow 群嵌入到 $ \mathfrak{Quot}_{X,d}(\mathscr{G}) $ 的 Chow 群中，补集由更高阶退化点集解析给出。
• 当 $ \delta = 0 $ 时，该有理映射为一次翻折，且 $ \mathfrak{Quot}_{X,d}(\mathscr{G}) $ 与 $ \mathfrak{Quot}_{X,d}(\mathscr{K}) $ 的 Chow 环同构。
• 该公式可退化为已知结果：当 $ \mathscr{G} $ 局部自由时，它恢复了 Grassmannian 线丛公式；当 $ d=1 $ 时，它恢复了投影化公式；当 $ d=\delta $ 时，它给出了行列式子簇的爆破公式。
• 应用包括通过 Quot-公式对动机和 Chow 理论结构的分解，计算曲面上点的 Hilbert 算术基本域和曲线上线性系列模空间的 Chow 群。