[论文解读] On the classification of irreducible representations of affine Hecke algebras with unequal parameters

Maarten Solleveld|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 48被引用 4

一句话总结

本文建立了具有不等参数的仿射赫尔代数的不可约表示与相应韦尔群表示之间的几何对应关系，通过证明阿贝尔、包姆与普莱曼的猜想，表明有限维表示的格罗滕迪克群在模挠射下同构。此外，本文构建了施瓦茨完备化的连续参数形变，证明K-理论与周期循环同调在参数缩放下保持不变，从而确认了希森与普莱曼关于C*-代数K-理论的参数无关性的猜想。

ABSTRACT

Let $R$ be a root datum with affine Weyl group $W^e$, and let $H = H (R,q)$ be an affine Hecke algebra with positive, possibly unequal, parameters $q$. Then $H$ is a deformation of the group algebra $\mathbb C [W^e]$, so it is natural to compare the representation theory of $H$ and of $W^e$. We define a map from irreducible $H$-representations to $W^e$-representations and we show that, when extended to the Grothendieck groups of finite dimensional representations, this map becomes an isomorphism, modulo torsion. The map can be adjusted to a (nonnatural) continuous bijection from the dual space of $H$ to that of $W^e$. We use this to prove the affine Hecke algebra version of a conjecture of Aubert, Baum and Plymen, which predicts a strong and explicit geometric similarity between the dual spaces of $H$ and $W^e$. An important role is played by the Schwartz completion $S = S (R,q)$ of $H$, an algebra whose representations are precisely the tempered $H$-representations. We construct isomorphisms $ζ_ε: S (R,q^ε) o S (R,q)$ $(ε>0)$ and injection $ζ_0 : S (W^e) = S (R,q^0) o S (R,q)$, depending continuously on $ε$. Although $ζ_0$ is not surjective, it behaves like an algebra isomorphism in many ways. Not only does $ζ_0$ extend to a bijection on Grothendieck groups of finite dimensional representations, it also induces isomorphisms on topological $K$-theory and on periodic cyclic homology (the first two modulo torsion). This proves a conjecture of Higson and Plymen, which says that the $K$-theory of the $C^*$-completion of an affine Hecke algebra $H (R,q)$ does not depend on the parameter(s) $q$.

研究动机与目标

• 建立具有不等参数的仿射赫尔代数与相应韦尔群之间不可约表示的自然对应关系。
• 证明阿贝尔–包姆–普莱曼关于仿射赫尔代数对偶空间与韦尔群之间几何相似性的猜想。
• 证明仿射赫尔代数C*-完备化的K-理论与周期循环同调不依赖于参数取值，从而确认希森与普莱曼的猜想。
• 构建施瓦茨代数的连续参数形变，并分析其在参数缩放到韦尔群情形下的行为。
• 证明单位表示与温和服务表示在参数形变下连续变化，保持关键的表示论不变量。

提出的方法

• 定义从仿射赫尔代数H(R,q)的不可约表示到韦尔群W表示的映射，该映射在模挠射的格罗滕迪克群上扩张为同构。
• 构造仿射赫尔代数的施瓦茨完备化S(R,q)，其表示恰好为温和服务表示。
• 对ε > 0定义连续缩放映射ζε: S(R,q^ε) → S(R,q)，并定义一个单射ζ₀: S(W) → S(R,q)，其在K-理论与循环同调中表现如同同构。
• 利用抛物诱导与R-群理论分析参数形变下残余谱的可约性与汇聚性。
• 应用非交换几何理论，包括拓扑K-理论与周期循环同调，比较不同参数取值下代数之间的关系。
• 借助兰兰德斯分类与表示的几何参数化方法，分析温和服务对偶空间的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有不等参数的仿射赫尔代数的不可约表示如何与韦尔群的表示相关联？
• RQ2 具有不等参数的仿射赫尔代数的温和服务对偶空间在多大程度上与韦尔群的对偶空间具有几何相似性？
• RQ3 仿射赫尔代数C*-完备化的K-理论是否依赖于参数取值？
• RQ4 当参数缩放至1时，单位表示与温和服务表示如何连续形变？
• RQ5 在残余谱汇聚点处，抛物诱导表示的可约性如何变化？

主要发现

• 从H-表示到W-表示的映射在有限维表示的格罗滕迪克群模挠射上诱导出同构。
• 连续缩放映射ζε: S(R,q^ε) → S(R,q)存在且对ε > 0是同构，ζ₀: S(W) → S(R,q)在拓扑K-理论与周期循环同调模挠射上也诱导出同构。
• 阿贝尔–包姆–普莱曼猜想得到证实：H(R,q)与W的对偶空间在几何上相似，残余点的汇聚在参数形变下保持一致。
• 对于小的参数扰动，固定区域U/W₀内具有中心特征的温和服务不可约表示的数量保持稳定，尽管W₀类型可能改变。
• 在临界参数值处（例如q₀ = q₁ = q₂），某些抛物诱导表示变为可约，具有两个不可约分量，经由R-群分析与德利涅–兰兰德斯–考兹丹–卢斯蒂格参数化方法验证。
• H(R,q)的C*-完备化的K-理论与周期循环同调不依赖于参数q，从而确认了希森–普莱曼猜想。