[论文解读] On the limit of spectral measures associated to a test configuration

Tomoyuki Hisamoto|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 37被引用 7

一句话总结

本文建立了测试配置的谱测度沿凯勒几何中弱测地线射线收敛到规范的杜斯特马特-赫克曼测度的收敛性。证明了测地线射线切向量的 $L^p$-范数等于测试配置的代数 $p$-范数，为唐纳森对卡拉比泛函的下界估计提供了能量理论解释，并将其推广到凯勒-爱因斯坦情形。

ABSTRACT

We apply the integral formula of volumes to the family of graded linear series constructed from any test configuration. This solves the conjecture raised by Witt--Nyström so that the sequence of spectral measures for the induced $\mathbb{C}^*$-action on the central fiber converges to the canonical Duistermatt--Heckman measure defined by the associated weak geodesic ray. As a consequence, we show that the algebraic $p$-norm of the test configuration equals to the $L^p$-norm of tangent vectors. Using this result, We may give a natural energy theoretic explanation for the lower bound estimate on the Calabi functional by Donaldson and prove the analogous result for the Kähler--Einstein metric.

研究动机与目标

• 解决王和内茨克（2010）关于与测试配置相关的谱测度极限的猜想。
• 建立 $\mathbb{C}^*$-作用在测试配置中心纤维上特征值渐近分布与凯勒度量空间中弱测地线射线几何之间的精确联系。
• 通过测地线切向量的 $L^p$-范数，为唐纳森对卡拉比泛函下界估计提供能量理论解释。
• 通过蒙日-安培测度将测试配置的 $p$-范数推广为几何 $L^p$-范数，推广 [Don05] 的结果。
• 通过将 K-能量梯度与唐纳森-福塔基不变量关联，支持谢凯利海迪提出的强 K-稳定性条件。

提出的方法

• 利用测试配置中心纤维上 $\mathbb{C}^*$-作用迹的渐近展开，定义唐纳森-福塔基不变量。
• 应用 [His12] 中关于与测试配置相关的分次线性系列渐近行为的结果。
• 使用 [RWN11] 的方法，从测试配置构造弱测地线射线 $$\varphi_t$，并将其与凯勒度量空间 $$\mathcal{H}$ 联系起来。
• 将谱测度定义为特征值 $\lambda/k$ 的归一化分布，权重为 $\dim V_\lambda$，并证明其弱极限等于 $(\dot{\varphi}_t)_*\mathrm{MA}(\varphi_t)$。
• 利用谱测度收敛性，将测试配置的 $p$-范数建立为 $|\dot{\varphi}_t - F_0|$ 关于蒙日-安培测度 $\mathrm{MA}(\varphi_t)/n!$ 的 $L^p$-范数，证明 $\|\mathcal{T}\|_p = \left(\int_X |\dot{\varphi}_t - F_0|^p \frac{\mathrm{MA}(\varphi_t)}{n!}\right)^{1/p}$。
• 对 $L^p$-范数与标量曲率 $S_\varphi - \hat{S}$ 应用霍尔德不等式，将 K-能量梯度与唐纳森-福塔基不变量 $F_1$ 关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 与测试配置相关的谱测度序列是否沿其对应的弱测地线射线收敛到一个规范测度？
• RQ2 弱测地线射线切向量的 $L^p$-范数是否可与测试配置的代数 $p$-范数相等同？
• RQ3 是否可通过 K-能量梯度对唐纳森对卡拉比泛函下界估计提供能量理论解释？
• RQ4 谱测度的极限是否独立于 $t$ 和初始度量 $\varphi$，并给出规范的杜斯特马特-赫克曼测度？
• RQ5 是否可通过弱测地线射线上 K-能量梯度的解析行为，为强 K-稳定性条件提供依据？

主要发现

• 与测试配置中心纤维上 $\mathbb{C}^*$-作用相关的谱测度弱收敛于蒙日-安培测度 $\mathrm{MA}(\varphi_t)$ 沿 $\dot{\varphi}_t$ 的拉回，即 $\lim_{k\to\infty}\frac{n!}{k^n}\sum_\lambda \delta_{\lambda/k}\dim V_\lambda = (\dot{\varphi}_t)_*\mathrm{MA}(\varphi_t)$。
• 测试配置的 $p$-范数 $\|\mathcal{T}\|_p$ 等于 $|\dot{\varphi}_t - F_0|$ 关于 $\mathrm{MA}(\varphi_t)/n!$ 的 $L^p$-范数，即 $\|\mathcal{T}\|_p = \left(\int_X |\dot{\varphi}_t - F_0|^p \frac{\mathrm{MA}(\varphi_t)}{n!}\right)^{1/p}$，从而得证。
• 弱测地线射线上 K-能量梯度满足 $\int_X (\dot{\varphi}_0 - F_0)(S_\varphi - \hat{S}) \frac{\mathrm{MA}(\varphi)}{n!} \geqslant F_1$，由此推出唐纳森不等式 $\|\mathcal{T}\|_p \|S_\varphi - \hat{S}\|_{L^q} \geqslant F_1$，其中 $p,q$ 为共轭指数。
• 在法诺情形下，该结果对 Ding 泛函同样成立，得到 $\|\mathcal{T}\|_p \left\| \frac{n!e^{-\varphi}}{\mathrm{MA}(\varphi)} - 1 \right\|_{L^q} \geqslant F_1$，提供唐纳森结果的类比。
• 强 K-稳定性条件 $F_1 \leqslant -\delta \|\mathcal{T}\|$ 由解析条件 $\int_X (\dot{\varphi}_0 - F_0)(S_{\varphi_t} - \hat{S}) \frac{\mathrm{MA}(\varphi_t)}{n!} \leqslant -\delta \|\dot{\varphi}_0 - F_0\|$ 支持，暗示与 K-能量恰当性的联系。