[论文解读] On the other side of the bialgebra of chord diagrams

Victor Tourtchine|ArXiv.org|Nov 19, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文证明了计算 $ℝ^d$（$d \geq 3$）中长绳结空间（co）同调的瓦西列夫谱序列的上行完全由平凡同调群构成。它将判别式中浸入分支的复形的同调识别为 $Ω^2 S^{d-1}$ 的（co）同调的子群，并在霍赫希尔德复形的泊松代数或格伦斯坦哈伯代数上引入了新的同调运算——这些运算以戴尔-拉绍夫运算的形式实现，用于描述谱序列上行中的循环。

ABSTRACT

In the paper we describe complexes whose homologies are naturally isomorphic to the first term of the Vassiliev spectral sequence computing (co)homology of the spaces of long knots in R^d, d>=3. The first term of the Vassiliev spectral sequence is concentrated in some angle of the second quadrant. In homological case the lower line is the bialgebra of chord diagrams (or its superanalog if d is even). We prove that the groups of the upper line are all trivial. In the same bigradings we compute the homology groups of the complex spanned only by strata of immersions in the discriminant (maps having only self-intersections). We interprete the obtained groups as subgroups of the (co)homology groups of the double loop space of a (d-1)-dimensional sphere. In homological case the last complex is the normalized Hochschild complex of the Poisson or Gerstenhaber (depending on parity of d) algebras operad. The upper line bigradings are spanned by the operad of Lie algebras. To describe the cycles in these bigradings we introduce new homological operations on Hochschild complexes. It will be proven elsewhere that these operations are related to Dyer-Lashof homology operations defined for double loop spaces.

研究动机与目标

• 计算 $ℝ^d$（$d \geq 3$）中长绳结空间的瓦西列夫谱序列第一项的同调群。
• 确定谱序列上行的结构，该结构位于对应于李代数操作符的双次数中。
• 将判别式中浸入分支的复形的同调识别为 $Ω^2 S^{d-1}$ 的（co）同调的子群。
• 引入并表征霍赫希尔德复形上的新同调运算，以实现谱序列上行中的循环。
• 确立这些运算由小正方形操作符的奇异链操作符作用诱导，从而将其识别为戴尔-拉绍夫运算。

提出的方法

• 本文构建了复形，其同调群与 $ℝ^d$（$d \geq 3$）中绳结空间的瓦西列夫谱序列第一项同调群同构。
• 通过长绳结空间的有限维逼近，严格定义了判别式单点紧化空间的同调。
• 通过将谱序列上行的同调解释为基于 $d$ 奇偶性的泊松代数或格伦斯坦哈伯代数操作符的归一化霍赫希尔德复形，分析了谱序列的上行。
• 利用迭代格伦斯坦哈伯括号和模 $p$ 组合数学，定义了霍赫希尔德复形上的新同调运算 $\xi_1$ 和 $\zeta_1$。
• 证明这些运算满足戴尔-拉绍夫公理，并证明其由小正方形操作符在霍赫希尔德复形上的作用诱导。
• 将结果推广至整数系数和模 $p$ 系数，得到了 $Ω^2 S^{d-1}$ 的同调双代数的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $d \geq 3$，长绳结在 $ℝ^d$ 中的瓦西列夫谱序列上行中的同调群是否为平凡的？
• RQ2 判别式中浸入分支复形的同调能否与 $Ω^2 S^{d-1}$ 的（co）同调的子群相识别？
• RQ3 哪些霍赫希尔德复形上的同调运算能实现瓦西列夫谱序列上行中的循环？
• RQ4 这些运算是否等价于由小正方形操作符诱导的戴尔-拉绍夫运算？
• RQ5 在 $ℝ$、$K_2$ 和奇素数 $p$ 的 $K_p$ 上，$Ω^2 S^{d-1}$ 的同调双代数结构如何？

主要发现

• 对于所有 $d \geq 3$，瓦西列夫谱序列上行中的同调群是平凡的，意味着谱序列的第一项集中于下行。
• 判别式中浸入分支所张成的复形的同调群与 $Ω^2 S^{d-1}$ 的（co）同调群的子群同构，其结构取决于 $d$ 的奇偶性。
• 在霍赫希尔德复形上定义的新同调运算 $\xi_1$ 和 $\zeta_1$ 满足戴尔-拉绍夫公理，并由小正方形操作符的奇异链在霍赫希尔德复形上的作用诱导。
• 在 $ℝ$ 上，$H_*(\u03a9^2 S^{d-1}; \u211d)$ 是一个外代数双代数，当 $d \geq 4$ 为偶数时有一个生成元 $\varphi$；当 $d \geq 5$ 为奇数时为一个由两个生成元构成的分次多项式双代数。
• 在 $K_2$ 上，$H_*(\u03a9^2 S^{d-1}; \u212a_2)$ 是一个分次多项式双代数，其生成元为 $\xi_1^k \varphi$，位于度数 $2^k(d-2)-1$。
• 在 $K_p$（$p$ 为奇素数）上，同调双代数是一个分次多项式双代数，其外代数生成元为 $\xi_1^k \varphi$，多项式生成元为 $\zeta_1 \xi_1^k \varphi = \beta \xi_1^{k+1} \varphi$，其度数依 $d$ 的奇偶性而定。