[论文解读] On Two Conjectures about Permutation Trinomials over $\mathbb{F}_{3^{2k}}$

Nian Li|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文通过证明特定的五次和七次有理函数在域中置换 $(3^k+1)$ 次单位根的集合，解决了关于 $\mathbb{F}_{3^{2k}}$ 上置换三项式上的两个猜想。证明依赖于分析相关多项式的二次因子，并表明它们在单位群中不可能有不同解，从而在给定条件下确认了置换性质。

ABSTRACT

Permutation polynomials with few terms attracts researchers' interest in recent years due to their simple algebraic form and some additional extraordinary properties. In this paper, by analyzing the quadratic factors of a fifth-degree polynomial and a seventh-degree polynomial over the finite field $\mathbb{F}_{3^{2k}}$, two conjectures on permutation trinomials over $\mathbb{F}_{3^{2k}}$ proposed recently by Li, Qu, Li and Fu are settled, where $k$ is a positive integer.

研究动机与目标

• 解决李、曲、李和傅于 2016 年提出的关于 $\mathbb{F}_{3^{2k}}$ 上置换三项式的两个开放猜想。
• 通过验证相关有理函数置换 $(3^k+1)$ 次单位根的集合 $\mu_{3^k+1}$，确立特定三项式的置换性质。
• 证明在 $\mathbb{F}_{3^{2k}}$ 上，某些五次和七次方程在 $\mu_{3^k+1}$ 中至多有一个解，这是确认置换行为的关键。
• 分析有限域上高次多项式的二次因子结构，以排除在单位群 $\mu_{3^k+1}$ 中存在多个解的可能性。

提出的方法

• 应用引理 1，将置换问题简化为验证有理函数是否置换 $\mathbb{F}_{3^{2k}}$ 中 $(3^k+1)$ 次单位根的集合 $\mu_{3^k+1}$。
• 分析相关有理函数的分子和分母的二次因子，以确定可能的解结构。
• 使用域论技术，包括 $\mu_{3^k+1}$ 中元素满足的条件 $a^q b = a$，以限制二次因子的可能根。
• 进行代数恒等变形，推导出满足 $\theta^3 - \theta - 1 = 0$ 的变量 $\theta$ 的三次方程，并分析其在 $\mathbb{F}_{3^{2k}}$ 中的可解性。
• 利用 $x^3 - x - 1$ 在 $\mathbb{F}_3$ 上不可约，且其根仅在 $k \equiv 0 \pmod{3}$ 时存在于 $\mathbb{F}_{3^{2k}}$ 中的事实，以限制可能的解。
• 证明假设存在两个不同解将导致矛盾，涉及迹恒等式和单位根的阶，特别是在 $k \not\equiv 0 \pmod{3}$ 或 $k \equiv 0 \pmod{3}$ 的情况下。

实验结果

研究问题

• RQ1 有理函数 $g(x) = \frac{-x^7 + x^6 + x}{x^6 + x - 1}$ 是否在 $k$ 为偶数时置换集合 $\mu_{3^k+1}$？
• RQ2 有理函数 $g(x) = \frac{x^6 + x^4 - 1}{-x^7 + x^3 + x}$ 是否对所有 $k$ 都置换 $\mu_{3^k+1}$？
• RQ3 有理函数 $g(x) = \frac{-x^5 + x^3 + x}{x^4 + x^2 - 1}$ 是否在 $k \not\equiv 2 \pmod{4}$ 时置换 $\mu_{3^k+1}$？
• RQ4 方程 $x^7 + t x^6 + t x^4 - x^3 - x - t = 0$ 是否可能对任意 $t \in \mu_{3^k+1}$ 在 $\mu_{3^k+1}$ 中有超过一个解？
• RQ5 在什么 $k$ 的条件下，三次方程 $\theta^3 - \theta - 1 = 0$ 在 $\mathbb{F}_{3^{2k}}$ 中有解，以及这如何影响置换方程的解结构？

主要发现

• 对任意 $t \in \mu_{3^k+1}$，方程 $x^7 + t x^6 + t x^4 - x^3 - x - t = 0$ 在 $\mu_{3^k+1}$ 中至多有一个解，无论 $k$ 为何值，这证实了猜想 2(2)。
• 当 $k \not\equiv 0 \pmod{3}$ 时，三次方程 $\theta^3 - \theta - 1 = 0$ 在 $\mathbb{F}_{3^{2k}}$ 中无解，这排除了某些解结构，并支持了解的唯一性。
• 当 $k \equiv 0 \pmod{3}$ 时，$\theta \in \mathbb{F}_{3^3} \subseteq \mathbb{F}_{3^k}$，且 $\theta^{(3^k - 1)/2} = 1$，若在 $\mu_{3^k+1}$ 中存在两个不同解，则会导致矛盾，从而证明了解的唯一性。
• 利用 $\mu_{3^k+1}$ 中二次因子 $x^2 + a x + b$ 的条件 $a^q b = a$ 来限制可能的根，并消除 $\mu_{3^k+1}$ 中的多重解。
• 证明表明，假设存在两个不同解将导致 $\sqrt{\theta} + \sqrt{\theta}^q = 0$，与 $\theta^{(q-1)/2} = 1$ 矛盾，从而证明了解的唯一性。
• 猜想 2(1) 仍为开放问题，但用于解决猜想 2(2) 的方法为解决该猜想提供了路径，表明类似的代数约束同样适用。