[论文解读] Open Systems: A Double Categorical Perspective

Kenny Courser|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2020

Petri Nets in System Modeling参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文提出了一种双范畴框架来建模开放系统——即具有输入和输出的系统——作为福因（Fong）的装饰余链（decorated cospans）的更灵活替代方案。通过在对称单一路径双范畴中形式化结构化余链（structured cospans）以及装饰余链的新版本，作者在特定条件下建立了这两种方法之间的等价性，从而为建模开放电气电路、马尔可夫过程和佩特里网（Petri nets）提供了统一且可组合的基础。

ABSTRACT

Fong developed `decorated cospans' to model various kinds of open systems: that is, systems with inputs and outputs. In this framework, open systems are seen as the morphisms of a category and can be composed as such, allowing larger open systems to be built up from smaller ones. Much work has already been done in this direction, but there is a problem: the notion of isomorphism between decorated cospans is often too restrictive. Here we introduce and compare two ways around this problem: structured cospans, and a new version of decorated cospans. Structured cospans are very simple: given a functor $L \colon \mathsf{A} o \mathsf{X}$, a `structured cospan' is a diagram in $\mathsf{X}$ of the form $L(a) ightarrow x \leftarrow L(b)$. If $\mathsf{A}$ and $\mathsf{X}$ have finite colimits and $L$ is a left adjoint, there is a symmetric monoidal category whose objects are those of $\mathsf{A}$ and whose morphisms are isomorphism classes of structured cospans. However, this category arises from a more fundamental structure: a symmetric monoidal double category. Under certain conditions this symmetric monoidal double category is equivalent to one built using our new version of decorated cospans. We apply these ideas to symmetric monoidal double categories of open electrical circuits, open Markov processes and open Petri nets.

研究动机与目标

• 为解决福因（Fong）的装饰余链中同构类过于严格、难以建模开放系统的问题。
• 通过在对称单一路径双范畴中使用结构化余链，构建一种更灵活且基础的框架。
• 提出装饰余链的新版本，使其在适当条件下构成与结构化余链等价的对称单一路径双范畴。
• 统一并推广不同领域中开放系统的可组合建模，如电气电路、马尔可夫过程和佩特里网（Petri nets）。
• 通过双范畴理论建立结构化余链与新装饰余链之间的正式等价性，增强模块化与可组合性。

提出的方法

• 将结构化余链定义为形如 L(a) → x ← L(b) 的图式，其中 L: A → X 是一个函子，通常为左伴随函子。
• 当 A 和 X 具有有限并集且 L 为左伴随函子时，构造结构化余链的对称单一路径双范畴。
• 通过定义 1-态射为装饰余链、2-态射为兼容变换，引入装饰余链的新版本。
• 通过定义水平与垂直复合及其相干性条件，建立装饰余链上的双范畴结构。
• 使用底面替换（foot-replacement）技术，将结构化余链的双范畴与装饰余链的双范畴关联起来，从而在特定条件下实现比较与等价性。
• 将该框架应用于具体系统：电气电路、开放马尔可夫过程与佩特里网（Petri nets），通过双范畴展示其可组合建模能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将结构化余链形式化为对称单一路径双范畴，以提供比装饰余链同构类更基础的框架？
• RQ2 在何种条件下，新版本的装饰余链双范畴与结构化余链双范畴等价？
• RQ3 双范畴结构如何提升电气电路与佩特里网等开放系统建模的可组合性与模块化？
• RQ4 该框架能否在不同类型的开放系统（包括马尔可夫过程与佩特里网）中统一应用，且保持一致的范畴论工具？
• RQ5 底面替换（foot-replacement）在构建与比较结构化余链与装饰余链双范畴中起到何种作用？

主要发现

• 当 A 和 X 具有有限并集且 L: A → X 为左伴随函子时，可构造出结构化余链的对称单一路径双范畴。
• 提出了一种新的装饰余链版本，其构成对称单一路径双范畴，为福因原始框架中的同构类提供了更灵活的替代方案。
• 在适当条件下，结构化余链的双范畴与新装饰余链的双范畴等价，从而正式统一了两种方法。
• 该框架成功地将开放电气电路、开放马尔可夫过程与开放佩特里网（Petri nets）建模为对称单一路径双范畴，支持可组合推理。
• 双范畴结构支持更丰富的可组合性，包括系统的水平与垂直复合，且相干的 2-态射可捕捉系统变换。
• 使用底面替换双范畴可系统性地比较与转换不同开放系统范畴模型，从而增强模块化与可重用性。