[论文解读] Optimal Curve Straightening is $\exists\mathbb{R}$-Complete

Jeff Erickson|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2019

Polynomial and algebraic computation参考文献 60被引用 7

一句话总结

本文证明了判断平面上一条一般自相交闭曲线是否同痕于具有给定顶点数的多边形的问题，属于存在理论的实数（∃ℝ）完全问题。该结果通过从伪线排列可拉伸性问题的约化得以建立，表明最优曲线折线化既为NP难，又属于P空间，且此类多边形的解空间可具有任意的拓扑复杂度。

ABSTRACT

We prove that the following problem has the same computational complexity as the existential theory of the reals: Given a generic self-intersecting closed curve $γ$ in the plane and an integer $m$, is there a polygon with $m$ vertices that is isotopic to $γ$? Our reduction implies implies two stronger results, as corollaries of similar results for pseudoline arrangements. First, there are isotopy classes in which every $m$-gon with integer coordinates requires $2^{Ω(m)}$ bits of precision. Second, for any semi-algebraic set $V$, there is an integer $m$ and a closed curve $γ$ such that the space of all $m$-gons isotopic to $γ$ is homotopy equivalent to $V$.

研究动机与目标

• 确定判断给定一般闭曲线是否同痕于指定顶点数的多边形的计算复杂度。
• 确立该问题属于存在理论的实数（∃ℝ）完全问题，该复杂度类捕捉了在实数上求解多项式不等式组的难度。
• 证明与给定曲线同痕的所有m边形的空间可具有任意的拓扑结构，这由伪线排列的普遍性定理所暗示。
• 表明在某些同痕类中，任意整数坐标m边形均需双指数精度于m，凸显其固有的数值不稳定性。
• 构建从存在理论的实数到曲线同痕问题的正式显式约化，利用边交叉的组合与几何约束。

提出的方法

• 通过将已知为∃ℝ完全的伪线排列可拉伸性问题约化为曲线同痕问题，构造一种将伪线交点编码为闭曲线自交点的方法。
• 使用带附加约束的高斯-道克尔编码，以支持平面嵌入与组合一致性的方式表示曲线的同痕类。
• 利用存在性公式编码交叉条件，断言多边形边对是否相交及交叉符号（正或负），基于坐标行列式。
• 通过坐标比较与索引逻辑表达式的组合，沿多边形边实现有序交叉序列，以确保正确交叉顺序。
• 构建一个全局存在性理论公式，结合边分配、交叉符号与交叉顺序约束，长度为O(nm³)，其中n为曲线的自交点数。
• 通过非确定性猜测每个交叉点位于哪些多边形边上，模拟数组类数据结构于ETR公式中，从而高效编码复杂的组合关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 判断一条一般闭曲线是否同痕于具有m个顶点的m边形的问题是否为∃ℝ完全？
• RQ2 所有与给定曲线同痕的m边形的空间是否可实现任意给定的半代数集，至同伦等价？
• RQ3 是否存在某些同痕类，使得任意整数坐标m边形均需双指数精度于m？
• RQ4 寻找与给定曲线同痕的最小复杂度多边形的计算复杂度为何？
• RQ5 能否在实数上的公式中编码边上的交叉模式与顺序，以完整捕捉同痕类？

主要发现

• 最优曲线折线化问题——即判断曲线是否同痕于m边形——为∃ℝ完全问题，使其处于与求解实数上多元多项式不等式组相同的复杂度类。
• 约化证明该问题既为NP难，又属于P空间，确立了紧致的复杂度界限。
• 对任意半代数集V，存在一条曲线γ与整数m，使得与γ同痕的所有m边形的空间同伦等价于V，展示了拓扑普遍性。
• 存在某些同痕类，其中每个整数坐标m边形均需2^Ω(m)比特精度，意味着最坏情况下坐标呈双指数增长。
• 该构造生成一个长度为Θ(nm³)的存在性理论公式，当且仅当曲线同痕于m边形时为真，其中n为自交点数。
• 该结果意味着，可通过最小费用流算法在O(n^{4/3} polylog n)时间内计算与曲线同痕的最小复杂度正交多边形，尽管此为特殊情况。