[论文解读] Pathwise Uniform Convergence of Time Discretisation Schemes for SPDEs

Katharina Klioba, Mark Veraar|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2023

Numerical methods for differential equations参考文献 59被引用 4

一句话总结

该论文为具有非抛物型（双曲型）算子和加法/乘法高斯噪声的非线性随机偏微分方程（SPDE）的时间时间离散化格式建立了最优的路径一致收敛速率。在Kato型框架下，采用希尔伯特空间 $X$ 和 $Y$，推导出一致强误差 $\mathbb{E}\left[\sup_{j}\|U(t_j)-U^j\|^{p}\right]^{1/p}$ 的界，对于具有加法噪声的线性方程，收敛速率为 $\lesssim k\log(T/k)$；对于具有乘法噪声的非线性方程，在压缩半群条件下收敛速率为 $\lesssim \sqrt{k}\log(T/k)$，且在（拟）压缩 $S$ 条件下，对指数欧拉方法可消除对数因子。结果统一并拓展了此前对麦克斯韦方程、薛定谔方程和波动方程的研究。

ABSTRACT

In this paper, we prove convergence rates for time discretisation schemes for semi-linear stochastic evolution equations with additive or multiplicative Gaussian noise, where the leading operator $A$ is the generator of a strongly continuous semigroup $S$ on a Hilbert space $X$, and the focus is on non-parabolic problems. The main results are optimal bounds for the uniform strong error $$\mathrm{E}_{k}^{\infty} := \Big(\mathbb{E} \sup_{j\in \{0, \ldots, N_k\}} \|U(t_j) - U^j\|^p\Big)^{1/p},$$ where $p \in [2,\infty)$, $U$ is the mild solution, $U^j$ is obtained from a time discretisation scheme, $k$ is the step size, and $N_k = T/k$. The usual schemes such as the exponential Euler, the implicit Euler, and the Crank-Nicolson method, etc. are included as special cases. Under conditions on the nonlinearity and the noise, we show - $\mathrm{E}_{k}^{\infty}\lesssim k \sqrt{\log(T/k)}$ (linear equation, additive noise, general $S$); - $\mathrm{E}_{k}^{\infty}\lesssim \sqrt{k} \sqrt{\log(T/k)}$ (nonlinear equation, multiplicative noise, contractive $S$); - $\mathrm{E}_{k}^{\infty}\lesssim k \sqrt{\log(T/k)}$ (nonlinear wave equation, multiplicative noise) for a large class of time discretisation schemes. The logarithmic factor can be removed if the exponential Euler method is used with a (quasi)-contractive $S$. The obtained bounds coincide with the optimal bounds for SDEs. Most of the existing literature is concerned with bounds for the simpler pointwise strong error $$\mathrm{E}_k:=\bigg(\sup_{j\in \{0,\ldots,N_k\}}\mathbb{E} \|U(t_j) - U^{j}\|^p\bigg)^{1/p}.$$ Applications to Maxwell equations, Schrödinger equations, and wave equations are included. For these equations, our results improve and reprove several existing results with a unified method and provide the first results known for the implicit Euler and the Crank-Nicolson method.

研究动机与目标

• 为具有加法或乘法噪声的非抛物型（双曲型）SPDE中的时间离散化格式建立最优收敛速率。
• 通过聚焦于路径一致强误差 $\mathbb{E}\left[\sup_j \|U(t_j)-U^j\|^{p}\right]^{1/p}$ 来填补文献中的空白，该误差比点态误差更能准确反映路径近似质量。
• 统一并拓展隐式欧拉、克拉克-尼科尔森和指数欧拉格式在麦克斯韦、薛定谔和波动方程中的现有结果。
• 首次为隐式欧拉和克拉克-尼科尔森格式在双曲型设定下提供路径一致误差控制下的收敛速率。
• 通过在（拟）压缩半群条件下使用指数欧拉方法，消除或最小化收敛界中的对数因子。

提出的方法

• 分析采用包含两个希尔伯特空间 $X$ 和 $Y$（$Y \hookrightarrow X$）的Kato型框架，以推导温和解和非线性项的正则性。
• 时间离散化格式表述为 $U^j = R_k U^{j-1} + k R_k F(U^{j-1}) + R_k G(U^{j-1}) \Delta W_j$，其中 $R_k$ 近似半群 $S(k)$。
• 关键估计依赖于随机最大 $L^p$-正则性、随机卷积界以及索伯列夫嵌入，以在 $Y$-空间中控制非线性项 $F$ 和 $G$。
• 证明利用了解 $U$ 及其离散近似 $U^j$ 的先验界，结合格式 $R_k$ 在 $Y$ 上的压缩性和逼近阶 $\alpha$。
• 通过精细分析指数欧拉方法，利用其（拟）压缩性质，消除了收敛速率中的对数因子。
• 该框架适用于生成元 $A$ 为 $C_0$-半群的抽象SPDE，通过适当选择 $X$、$Y$ 和 $A$，可覆盖波动方程、麦克斯韦方程和薛定谔方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有加法或乘法噪声的非抛物型SPDE中，时间离散化格式的最优路径一致收敛速率是什么？
• RQ2 在（拟）压缩半群条件下，特定格式（如指数欧拉方法）的收敛界中的对数因子是否可以被消除？
• RQ3 在路径一致误差控制下，隐式欧拉和克拉克-尼科尔森格式在双曲型设定下的收敛速率如何比较？
• RQ4 这些结果在多大程度上统一并拓展了对麦克斯韦、薛定谔和波动方程的已有研究？
• RQ5 在缺乏抛物型正则化的情况下，带有两个空间 $X$ 和 $Y$ 的Kato型框架能否为一致强误差提供紧致界？

主要发现

• 对于具有加法噪声和一般 $C_0$-半群 $S$ 的线性SPDE，一致强误差满足 $\mathbb{E}\left[\sup_j \|U(t_j)-U^j\|^{p}\right]^{1/p} \lesssim k \log(T/k)$。
• 对于具有乘法噪声和压缩半群 $S$ 的非线性SPDE，一致强误差被界为 $\lesssim \sqrt{k} \log(T/k)$。
• 对于具有乘法噪声的非线性波动方程，一致强误差被界为 $\lesssim k \log(T/k)$。
• 当 $S$ 为（拟）压缩时，指数欧拉方法的对数因子可被消除，从而得到 $\lesssim k$ 的收敛速率。
• 对于隐式欧拉和克拉克-尼科尔森格式，收敛速率分别为 $k^{\delta/2}$ 和 $k^{\min(2\delta/3,1)}$，其中 $\delta \in (1,2]$ 控制噪声的正则性。
• 结果恢复并改进了已知的SDE误差界，并首次为隐式欧拉和克拉克-尼科尔森格式在双曲型SPDE设定下提供了路径一致收敛速率。