[论文解读] Periodic Symplectic Cohomologies

Jingyu Zhao|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用 9

一句话总结

本文通过将古德温的周期循环同调应用于辛上链复形，为黎诺夫流形引入了两种周期性辛上同调理论，$HP^{*}_{S^{1}}(M)$ 与 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$。关键结果是一个局部化同构 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M,\mathbb{Q}) \cong H^{*}(M,\mathbb{Q})((u))$，建立了琼斯与佩特拉克周期性等变上同调局部化定理的辛类比。

ABSTRACT

Goodwillie \cite{Goodwillie} introduced a periodic cyclic homology group associated to a mixed complex. In this paper, we apply this construction to the symplectic cochain complex of a Liouville domain $M$ and obtain two periodic symplectic cohomology theories, denoted as $HP^*_{S^1}(M)$ and $HP^*_{S^1, \mathrm{loc}}(M)$. Our main result is that both cohomology theories are invariant under Liouville isomorphisms and there is a natural isomorphism $HP^*_{S^1, \mathrm{loc}}(M, \mathbb{Q}) \cong H^*(M, \mathbb{Q})((u))$, which can be seen as a localization theorem for $HP^*_{S^1, \mathrm{loc}}(M, \mathbb{Q})$.

研究动机与目标

• 通过辛上链复形的周期循环同调定义黎诺夫流形的周期性辛上同调理论。
• 证明这些理论在黎诺夫同构下的不变性。
• 构造一个受琼斯与佩特拉克周期性等变上同调启发的局部化版本 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$，其满足局部化性质但不满足弱同伦不变性。
• 证明 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M,\mathbb{Q})$ 与形式幂级数环 $H^{*}(M,\mathbb{Q})((u))$ 之间的局部化同构。

提出的方法

• 将古德温的周期循环同调构造应用于黎诺夫流形 $M$ 的辛上链复形的 $S^1$-复形结构。
• 定义 $HP^{*}_{S^{1}}(M)$ 为辛上链复形的周期循环同调，利用其作为 $\infty$-混合复形的结构。
• 引入 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$ 作为受琼斯与佩特拉克的局部化周期性等变上同调启发的变体，适用于辛几何设定。
• 通过在自由环路空间 $\mathscr{L}\widehat{M}$ 上使用博雷尔构造与莫尔斯理论，对 $S^1$-等变辛同调进行建模。
• 通过在一系列可接受的哈密顿量 $H^{i\pi+1}_t$ 上的望远镜构造，取周期上同调群的直接极限，构建局部化理论。
• 利用辛上链复形具有 $S^1$-复形结构的事实，定义周期复形上的微分 $\delta^{S^1}$，并通过度数与延续映射分析计算同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将周期循环同调应用于辛上链复形，以定义黎诺夫流形的新不变量？
• RQ2 周期性辛上同调的局部化版本是否满足类似于等变拓扑中所见的局部化性质？
• RQ3 是否存在自然同构，使得局部化周期性辛上同调与形式幂级数环 $H^{*}(M,\mathbb{Q})((u))$ 同构？
• RQ4 周期性辛上同调理论在黎诺夫同构下如何表现？
• RQ5 在 $T^*Q$ 的情形下，$HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$ 与自由环路空间同调之间存在何种关系？

主要发现

• 局部化周期性辛上同调满足 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M,\mathbb{Q}) \cong H^{*}(M,\mathbb{Q})((u))$，作为 $\mathbb{Z}/2$-分次 $\mathbb{Q}((u))$-模。
• $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$ 在流形 $M$ 的黎诺夫同构下保持不变。
• 对于环形区域 $A = S^1 \times [1,2]$，周期性辛上同调计算结果为 $HP^{*}_{S^{1}}(A) = (\mathbb{Z} \oplus \bigoplus_{k\in\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/k\mathbb{Z})((u))$。
• 通过在环形区域上的直接计算，确认了同构 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(A,\mathbb{Q}) \cong H^{*}(A,\mathbb{Q})((u))$，其结果与 $H^{*}(S^1,\mathbb{Q})((u))$ 一致。
• 周期复形上的微分 $\delta^{S^1}$ 在常值环路 $\widehat{\gamma}_0, \widecheck{\gamma}_0$ 上为零，并满足 $\delta^{S^1}(\widehat{\gamma}_k) = ku\widecheck{\gamma}_k$（当 $k \neq 0$ 时）。
• 在望远镜构造中，高阶延续映射 $\kappa_i$ 对于 $i \geq 1$ 恒为零，从而简化了 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(A)$ 的直接极限计算。