[论文解读] Poisson deformations of symplectic quotient singularities

Victor Ginzburg, D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文证明了Calogero-Moser形变为辛商奇点$V/G$提供了普遍的泊松形变，其中$V$是辛向量空间，$G \subset \mathrm{Sp}(V)$是有限群。本文证明了一个乘法型McKay对应关系，表明任意光滑辛解析解$X \to V/G$的上同调环同构于群代数$\mathbb{C}[G]$的中心在自然滤子下的分次代数，且证明当$G$为$D_n$、$E_n$、$F_4$或$G_2$型的Weyl群时，此类解析解不存在，除非$G$为$A$、$B$或$C$型。该结果在泊松几何、表示理论与代数几何之间建立了深刻联系。

ABSTRACT

We establish a connection between smooth symplectic resolutions and symplectic deformations of a (possibly singular) affine Poisson variety. In particular, let V be a finite-dimensional complex symplectic vector space and G\subset Sp(V) a finite subgroup. Our main result says that the so-called Calogero-Moser deformation of the orbifold V/G is, in an appropriate sense, a versal Poisson deformation. That enables us to determine the algebra structure on the rational cohomology H^*(X) of any smooth symplectic resolution X o V/G (multiplicative McKay correspondence). We prove further that if G is an irreducible Weyl group in GL(h) and V=h+ h^* then no smooth symplectic resolution of V/G exists unless G is of types A,B, or C.

研究动机与目标

• 建立光滑辛解析解与仿射泊松概形的辛形变之间的联系。
• 通过泊松形变框架，确定任意光滑辛解析解$X \to V/G$的上同调环的代数结构。
• 解决当$G$为Weyl群时$V/G$的辛解析解的存在性问题，证明在$D_n$、$E_n$、$F_4$、$G_2$型下不存在。
• 证明乘法型McKay对应关系，将$H^\bullet(X, \mathbb{C})$与$\mathrm{gr}^F(\mathbb{Z}G)$相等识别。

提出的方法

• 利用泊松上同调分析$V/G$上泊松结构的形变，特别是$HP^2(V/G)$，其分类无穷小泊松形变。
• 通过商的几何结构与$G$的作用，构造Calogero-Moser形变，作为$V/G$的普遍泊松形变。
• 在群代数$\mathbb{C}[G]$上定义滤子$F_k(\mathbb{C}[G])$，基于$\mathrm{id} - g$的秩，及其分次代数$\mathrm{gr}^F(\mathbb{Z}G)$。
• 应用整体泊松形变理论，将$V/G$的形变空间与解析解$X \to V/G$的上同调联系起来，利用辛解析解为共形且辛形式可提升的事实。
• 利用Hochschild上同调与Künneth公式，将$X$的上同调与$\mathrm{gr}^F(\mathbb{Z}G)$的结构联系起来。
• 借助分次代数与平态下降理论，建立$X$上凝聚层范畴与分次代数之间的等价关系，保持张量结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Calogero-Moser形变是否为辛商奇点$V/G$的普遍泊松形变？
• RQ2 光滑辛解析解$X \to V/G$的上同调环$H^\bullet(X, \mathbb{C})$的代数结构为何？
• RQ3 对于哪些有限子群$G \subset \mathrm{Sp}(V)$，$V/G$存在辛解析解？
• RQ4 能否通过$G$的表示理论，特别是$\mathbb{C}[G]$的中心，来描述$X$的上同调？
• RQ5 乘法型McKay对应关系是否成立，即$H^\bullet(X, \mathbb{C})$是否同构于$\mathrm{gr}^F(\mathbb{Z}G)$？

主要发现

• Calogero-Moser形变为$V/G$提供了普遍泊松形变，意味着它捕捉了该奇点所有可能的无穷小泊松形变。
• 当$G$为作用在$V = \mathfrak{h} \otimes \mathbb{C}^2$上的Weyl群时，除非$G$为$A_n$、$B_n$或$C_n$型，否则不存在光滑辛解析解。
• 任意光滑辛解析解$X \to V/G$的上同调环$H^\bullet(X, \mathbb{C})$作为分次代数同构于$\mathrm{gr}^F(\mathbb{Z}G)$，即$\mathbb{C}[G]$的中心在$\mathrm{id} - g$的秩滤子下的分次代数。这是乘法型McKay对应关系。
• 解析解$X$无奇数阶有理上同调，即对所有$k \geq 0$有$H^{2k+1}(X, \mathbb{C}) = 0$，这是由于其同构于集中在偶数阶的$\mathrm{gr}^F(\mathbb{Z}G)$。
• $H^i(X, \mathbb{C})$的维数等于$\mathrm{gr}^F(\mathbb{Z}G)$的第$i$个分次部分的维数，从而在更强的乘法形式下确认了已知的维数等式。
• 当$HP^1(V/G) = 0$时，泊松导子的李代数在$HP^2(V/G)$上的作用是平凡的，该性质被用于证明Calogero-Moser形变的普遍性。