[论文解读] Polyhedral approximations of Riemannian manifolds

Anton Petrunin|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2022

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 12

一句话总结

本文建立了黎曼流形可被曲率上下有界的多面体度量进行局部或全局Lipschitz逼近的必要且充分条件。文章引入了共截面曲率的概念，表明此类逼近存在当且仅当流形的曲率张量位于由$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^{m-2}$的曲率张量生成的特定凸O(m)-不变锥内，且对于满足拓扑条件的全局逼近，需有正的裕量$\varepsilon$。

ABSTRACT

We give a condition on the curvature tensors of Riemannian manifolds that admit Lipschitz approximation by polyhedral metrics with curvature bounded below or above. We show that this condition is also sufficient for the existence of local approximations. We conjecture that it is also sufficient for the global approximations and prove it in some special cases.

研究动机与目标

• 刻画可被曲率上下有界的多面体度量逼近的黎曼流形。
• 定义并分析一种新的曲率条件——共截面曲率，以捕捉多面体曲率张量的极限行为。
• 证明共截面曲率条件是黎曼流形通过曲率$\geqslant \kappa$的多面体空间进行局部Lipschitz逼近的必要条件。
• 在拓扑假设（如稳定平凡的切丛）下，建立该条件对全局逼近的充分性。
• 推测切丛条件并非本质必要，并在特殊情形（包括球面流形）下证明全局结果。

提出的方法

• 在曲率张量空间$\mathrm{A}^4(\mathbb{E}^m)$中定义最小的凸O(m)-不变锥$\mathcal{S}^*$，其由$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^{m-2}$的曲率张量生成。
• 通过条件$\mathrm{Rm}_p - \kappa \cdot Q_{\mathbb{S}^m} \in \mathcal{S}^*$，引入共截面曲率$\mathop{\rm cosec}\nolimits_p(\mathrm{Rm}_p) \geqslant \kappa$的概念。
• 将黎曼流形$M$等距嵌入$\mathbb{R}^q$，表示为$q-m$个局部凸超曲面的交集，且其外法向量之间的夹角为钝角。
• 对每个凸超曲面用凸多面体超曲面逼近，同时保持角度条件，然后取其交集，得到曲率$\geqslant \kappa$的多面体度量。
• 利用在余维数2骨架上支撑的奇异曲率测度的弱收敛性，证明逼近序列的极限曲率张量与流形$M$的黎曼曲率张量一致。
• 应用Perelman未发表的结果处理曲率极限，并利用GH收敛性和双Lipschitz参数化来控制曲率测度的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种曲率条件下，黎曼流形可被曲率有下界的多面体度量进行局部逼近？
• RQ2 共截面曲率条件$\mathop{\rm cosec}\nolimits M \geqslant \kappa + \varepsilon$是否足以保证通过$\kappa$-多面体度量进行全局Lipschitz逼近？
• RQ3 对全局逼近而言，假设切丛为稳定平凡在多大程度上是必要的？
• RQ4 该全局逼近结果能否推广到不满足切丛条件的流形（如$\mathbb{C}\mathrm{P}^2$）？
• RQ5 多面体空间的曲率如何集中在余维数2骨架上，这又如何影响极限曲率张量？

主要发现

• 局部定理表明，若黎曼流形$M$是$\kappa$-多面体空间的Lipschitz极限，则$\mathop{\rm cosec}\nolimits M \geqslant \kappa$。
• 反之，若$\mathop{\rm cosec}\nolimits M \geqslant \kappa + \varepsilon$对某个$\varepsilon > 0$成立，则$M$的每一点都有一个邻域，其为曲率$\geqslant \kappa$的$\kappa$-多面体空间的Lipschitz极限。
• 在全局情形下，若$M$是单连通的，且$\mathop{\rm cosec}\nolimits M \geqslant \kappa + \varepsilon$，且$M$具有稳定平凡的切丛，则$M$可被曲率$\geqslant \kappa$的$\kappa$-多面体度量进行全局Lipschitz逼近。
• $\mathop{\rm cosec}\nolimits M \geqslant 1$是完备黎曼$m$-流形可被曲率$\geqslant 1$的球面多面体度量进行Lipschitz逼近的必要且充分条件。
• 多面体空间的奇异曲率张量其支撑在余维数2骨架上，通过Hausdorff测度和总角亏量定义，且具有规范的双向量场$\alpha = dx \wedge dy$，其范数为1。
• 建立了逼近多面体空间的奇异曲率测度弱收敛于极限流形的黎曼曲率张量，从而证实了曲率极限的一致性。