[论文解读] Polynomial families of tautological classes on $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$

Renzo Cavalieri, Steffen Marcus+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文在稳定有理尾曲线的模空间 $\mathcal{M}_{g,T}^{rt}$ 上，对来自相对稳定映射的 tautological 类 $P_{g,T}(\alpha;\beta)$ 与来自全纯主丛的截面的 tautological 类 $Q_{g,T}(k_1,\ldots,k_T)$ 建立了精确比较。证明了在 $R^g(\mathcal{M}_{g,T}^{rt})$ 中有 $P_{g,T}(\alpha;\beta) = Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$，并利用虚拟局部化方法，显式计算了亏格 1 且总长度为 3 的情况下的多项式系数，以 $\psi$ 和 $\delta_1$ 类表示。

ABSTRACT

We study classes $P_{g,T}(α;β)$ on the moduli space of stable, genus g curves with rational tails defined by pushing forward the virtual fundamental classes of spaces of relative stable maps to an unparameterized projective line. A comparison with classes $Q_{g,T}$ arising from sections of the universal Jacobian shows the classes $P_{g,T}(α;β)$ are polynomial in the parts of the partitions indexing the special ramification data. Virtual localization on moduli spaces of relative stable maps gives sufficient relations to compute the coefficients of these polynomials in various cases.

研究动机与目标

• 比较 $\mathcal{M}_{g,T}^{rt}$ 上两个几何定义的 tautological 类：一个来自相对稳定映射的虚拟前推，另一个来自全纯主丛的截面。
• 建立这两个类在拐点数据符号反转下的相等性，具体为在 $R^g(\mathcal{M}_{g,T}^{rt})$ 中有 $P_{g,T}(\alpha;\beta) = Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$。
• 利用虚拟局部化技术显式计算亏格 1 情况下多项式 $P_{1,T}(d;\alpha_2,\ldots,\alpha_T)$ 的系数。

提出的方法

• 将 $P_{g,T}(\alpha;\beta)$ 定义为从带指定在 0 和 $\infty$ 处的分支的 $\mathbb{P}^1$ 上的相对稳定映射模空间出发，通过稳定化得到的虚拟前推的基本类。
• 将 $Q_{g,T}(k_1,\ldots,k_T)$ 定义为通过由除子类 $\sum k_i p_i$ 定义的截面拉回全纯主丛的零截面。
• 在相对稳定映射的模空间上使用虚拟局部化，推导出 tautological 类之间的关系，并计算多项式 $P_{g,T}$ 的系数。
• 利用 Ravi Vakil 关于 $Q_{g,T}$ 的多项式性结果，以及 Hain 关于 $Q_{g,T}$ 在上同调中的显式公式，推导出多项式结构。
• 应用比较关系 $P_{g,T}(\alpha;\beta) = Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$，将 $P_{1,T}$ 的计算简化为已知的 tautological 表达式。
• 利用亏格 1 且总长度为 3 的情形，推导出 $P_{1,T}$ 关于 $\psi_1$ 和 $\delta_1$ 型边界类的一般公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 来自相对稳定映射的 tautological 类 $P_{g,T}(\alpha;\beta)$ 与来自全纯主丛的 $Q_{g,T}(k_1,\ldots,k_T)$ 在 $\mathcal{M}_{g,T}^{rt}$ 上是否相等？
• RQ2 能否利用虚拟局部化技术显式计算多项式 $P_{g,T}(\alpha;\beta)$ 的系数？
• RQ3 在亏格 1 且任意总长度 $T$ 的情况下，$P_{1,T}(d;\alpha_2,\ldots,\alpha_T)$ 的显式 tautological 表达式是什么？
• RQ4 多项式 $P_{1,3}(d;\alpha_2,\alpha_3)$ 的系数如何分解为标准的 tautological 类 $\psi_1$ 和 $\delta_1$ 边界类？
• RQ5 多项式 $P_{g,T}(\alpha;\beta)$ 在分支数据 $\alpha, \beta$ 上的多项式性是否反映在系数的结构中？

主要发现

• 在 $R^g(\mathcal{M}_{g,T}^{rt})$ 中，类 $P_{g,T}(\alpha;\beta)$ 与 $Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$ 相等，建立了相对稳定映射与主丛截面之间深刻的几何对应关系。
• 对于亏格 1 且总长度为 3 的情形，$P_{1,3}(d;\alpha_2,\alpha_3)$ 的系数显式给出为：$A_2 = \psi_1 - \overline{\mathrm{D}}_{1,0}(2|1,3)$，$A_3 = \psi_1 - \overline{\mathrm{D}}_{1,0}(3|1,2)$，$B = \psi_1 - \overline{\mathrm{D}}_{1,0}(1|2,3)$，位于 $\mathcal{R}^1(\mathcal{M}_{1,3}^{rt})$ 中。
• 一般亏格 1 多项式 $P_{1,T}(d;\alpha_2,\ldots,\alpha_T)$ 表示为 $\sum_{i=2}^T A_i \alpha_i^2 + \sum_{i>j} B_{i,j} \alpha_i \alpha_j$，其中 $A_i = \psi_1 - \sum_{\substack{J\subset[T],\, |J|\geq 2\\ 1\in J,\, i\notin J}} \overline{\mathrm{D}}_{1,0}([T]-J|J)$，且 $B_{i,j} = \psi_1 - \sum_{\substack{J\subset[T],\, |J|\geq 2\\ 1\in J,\, i,j\notin J}} \overline{\mathrm{D}}_{1,0}([T]-J|J)$。
• 本文恢复了 Looijenga 经典结果的一个变体：$P_{g,2}(d;d) = d^{2g} P_{g,2}(1;1)$，其生成函数涉及类似 sinc 的函数的对数。
• 通过比较关系 $P_{g,T}(\alpha;\beta) = Q_{g,T}(\alpha,-\beta)$，可利用 Hain 的上同调公式推导出 $g \geq 2$ 时 $P_{g,T}$ 的 tautological 表达式。
• 通过一系列正合三角形和局部分析，证明了相对稳定映射模空间的障碍理论是完美的，从而确认虚拟基本类是良定义的。