[论文解读] Polynomial-time isomorphism testing of groups of most finite orders

Heiko Dietrich, James B. Wilson|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文提出了阿贝尔群和互质元循环黑箱群的多项式时间同构测试算法，采用类型理论模型确保输入正确性。证明了对于一个稠密集的群阶集合，同构测试可在 log n 的多项式时间内完成，显著优于以往针对黑箱群的指数时间方法。

ABSTRACT

[PLEASE SEE COMMENT] We consider the isomorphism problem for finite abelian groups and finite meta-cyclic groups. We prove that for a dense set of positive integers $n$, isomorphism testing for abelian groups of black-box type of order $n$ can be done in time polynomial in $\log n$. We also prove that for a dense set of orders $n$ with given prime factors, one can test isomorphism for coprime meta-cyclic groups of black-box type of order $n$ in time polynomial in $\log n$. Prior methods for these two classes of groups have running times exponential in $\log n$.

研究动机与目标

• 在黑箱群模型中开发有限阿贝尔群与元循环群的高效同构测试算法，其中群运算通过预言机访问。
• 通过识别一个稠密的群阶集合，使同构测试变为多项式时间，从而克服先前指数时间算法的局限性。
• 通过采用类型理论模型，解决黑箱群算法中输入错误的根基性问题，确保输入为有效群。
• 通过类型安全将承诺问题转化为决策问题，弥合黑箱群算法的实际应用与形式复杂性理论之间的鸿沟。

提出的方法

• 利用类型理论模型，所有输入均为已知群类型的项，通过构造确保每个输入都是有效群，从而消除错误输入。
• 应用数论中的密度结果与群论约束，定义整数集合 D 和 D̂，使得群结构足够受限，从而实现高效的同构测试。
• 利用 n ∈ D 的群的结构（小素数幂与大无平方部分），将同构测试归约为在受控环境下求解离散对数与因数分解问题。
• 对元循环群采用拉斯维加斯随机化算法，其正确性由类型系统保证，效率由允许阶数的稠密性与结构保障。
• 引入构造性成员资格测试，适用于任意输入，不仅限于较大环境群中的元素，从而实现无需依赖承诺问题的绝对成员资格检查。
• 依赖 Erdős-Pálfi 与 Karagiorgos-Poulakis 的先前结果，表征具有有利群论性质的阶的密度，从而实现高效算法的构建。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于阿贝尔黑箱群，是否可在稠密集的群阶上实现多项式时间同构测试？
• RQ2 在黑箱模型下，哪些非阿贝尔群类的同构测试可在多项式时间内实现？
• RQ3 在形式计算模型中，如何解决黑箱群算法中输入错误的根基性问题？
• RQ4 在群论计算中，类型理论在多大程度上可用于将承诺问题转化为决策问题？
• RQ5 对群阶的何种结构约束可使同构测试在一般问题困难的前提下仍保持高效？

主要发现

• 对于稠密集 D 中的整数，阿贝尔黑箱群（阶 n ∈ D）的同构测试运行时间在 log n 的多项式时间内，显著优于以往的指数时间方法。
• 集合 D 由形如 n = p₁^e₁⋯pₖ^eₖb 的整数构成，其中 pᵢ ≤ log log n，pᵢ^eᵢ ≤ log n，且 b 为无平方数，其所有素因子均 > log log n，且 |D ∩ {1,…,10⁸}| / 10⁸ ≈ 0.848。
• 对于 D 的稠密子集 D̂ ⊆ D，存在一个多项式时间拉斯维加斯算法，用于测试阶 n ∈ D̂ 的互质元循环黑箱群的同构性，且 |D̂ ∩ {1,…,10⁸}| / 10⁸ ≈ 0.721。
• 类型理论模型确保所有输入均为有效群，无需承诺问题，从而在证明中实现正确且确定性的推理。
• 构造性成员资格测试作为副产品实现，可在任意元素上进行成员资格检查，无需假设其属于更大的环境群。
• 结果表明，对于大多数群阶，尽管一般问题对非确定性图灵机而言是困难的，但在黑箱模型下同构问题仍可 tractable（可解）。