[论文解读] Polynomials associated with fixed points on the instanton moduli space

Andrey Smirnov|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 13

一句话总结

本文通过使用Okounkov-Maulik的稳定映射，将瞬子模空间的等变上同调中的不动点类定义为广义Jack多项式，利用该映射将这些类识别为无穷多个变量的多项式。关键贡献是给出了这些多项式在Schur基下的组合展开公式，推广了标准Jack多项式的已知结果，并为AGT猜想背景下的计算提供了明确工具。

ABSTRACT

Using the Okounkov-Maulik stable map, we identify the equivariant cohomology of instanton moduli spaces with the space of polynomials on an infinite number of variables. We define the generalized Jack polynomials as the polynomials representing the classes of fixed points under this identification. Using the abelianization theorem of Shenfeld we derive the combinatorial formula for the expansion of generalized Jack polynomials in the basis of Schur polynomials.

研究动机与目标

• 将广义Jack多项式定义为瞬子模空间上不动点类的等变上同调类。
• 通过将结构推广至秩-r瞬子模空间，推广标准Jack多项式。
• 推导广义Jack多项式在Schur多项式基下的组合展开公式。
• 通过这些多项式为AGT对应关系中AFLT态提供明确的计算工具。
• 通过上同调中的多项式基，建立4d规范理论与2d共形场论之间的桥梁。

提出的方法

• 使用Okounkov-Maulik的稳定映射，将瞬子模空间的等变上同调识别为无穷多个变量的多项式环。
• 利用Shenfeld的阿贝尔化定理，推导广义Jack多项式在Schur基下的组合展开。
• 将广义Jack多项式定义为在稳定映射识别下，不动点类的多项式代表。
• 利用模空间上的环面作用，通过r元组的分拆来标记不动点，推广Hilbert概形的情形。
• 通过选择区域和极化，应用稳定包络构造，定义上同调空间与多项式空间之间的同构。
• 利用所得同构，计算广义Jack多项式在Schur多项式基下的显式展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 瞬子模空间等变上同调中不动点类如何表示为多项式？
• RQ2 广义Jack多项式在Schur基下的展开具有怎样的组合结构？
• RQ3 在秩-r规范理论背景下，广义Jack多项式如何推广标准Jack多项式？
• RQ4 稳定映射在连接上同调类与多项式函数中起什么作用？
• RQ5 这些多项式如何与4d N=2规范理论中的AFLT态及AGT对应关系相关联？

主要发现

• 广义Jack多项式被定义为瞬子模空间等变上同调中不动点类的多项式代表，其由r元组的分拆标记。
• 当r=1时，广义Jack多项式退化为参数β = -t₂/t₁的标准Jack多项式。
• 本文推导出广义Jack多项式在Schur基下的组合展开公式，使显式计算成为可能。
• 对r=1,2,3计算了显式公式，结果依赖于等变参数t₁, t₂, 和uᵢ，且与文献中已知结果一致。
• 结果通过上同调中的多项式基，为AGT对应关系中的AFLT态提供了具体的实现。
• 稳定映射在瞬子模空间上同调与多项式环之间提供了典范同构，推广了Nakajima的构造。