[论文解读] Positivity in convergence of the inverse $\sigma_{n-1}$-flow

Jian Xiao|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文通过在全局数值正性条件下证明 $(n-1,n-1)$-型形式 $ω^{n-1} - \frac{(n-1)!}{(n-1)!1!}\omega^{0}\wedge\alpha^{n-1}$ 的点态正性，验证了勒杰米与采凯利迪猜想在紧致凯勒流形上关于逆 $σ_{n-1}$-流的弱化版本。关键结果确认了上同调类中存在严格正的代表元，将结果推广至凯勒 3-流形，并为可移动曲线类之差位于可移动锥内部提供了充分条件。

ABSTRACT

We study positivity in the conjecture proposed by Lejmi and Sz\\'{e}kelyhidi on finding effective necessary and sufficient conditions for solvability of the inverse $\\sigma_k$ equation, or equivalently, for convergence of the inverse $\\sigma_k$-flow. In particular, for the inverse $\\sigma_{n-1}$-flow we partially verify their conjecture by obtaining the desired positivity for $(n-1, n-1)$ cohomology classes. As an application, we also partially verify their conjecture for 3-folds.

研究动机与目标

• 验证勒杰米与采凯利迪关于逆 $σ_k$-方程在 $k = n-1$ 时可解性的弱化形式猜想。
• 在全局数值正性条件下，建立与逆 $σ_{n-1}$-流相关的 $(n-1,n-1)$-型形式的点态正性。
• 通过 $k=1$ 与 $k=n-1$ 情况的先前结果，将结果推广至凯勒 3-流形。
• 为两个可移动曲线类之差位于曲线可移动锥内部提供充分条件。

提出的方法

• 利用布克斯莫尔建立的伪有效 $(1,1)$-类的除子型泽里斯基分解。
• 应用基于夏（2014）与LX（2016a）的可移动 $(n-1,n-1)$-类的莫尔斯型大性判别准则。
• 采用由波波维奇（2016）与王-宁（2016）导出的反向科凡斯基-泰瑟不等式之受限版本。
• 应用复蒙日-安培型方程构造 $(k+l)$-次调和代表元，借助 [DK12] 与 [Sun16] 的结果。
• 通过上同调约化，将点态不等式化为复环面上的交数不等式。
• 采用 [Pop16] 的方法处理 $(k+l)$-次调和形式并推导体积形式不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有满足 $k \leq p \leq n-1$ 的维数为 $p$ 的子簇，其数值正性条件是否蕴含逆 $\sigma_{n-1}$-流中 $(n-1,n-1)$-型形式的点态正性？
• RQ2 弱猜想是否可在一般紧致凯勒流形上对 $k = n-1$ 成立？
• RQ3 在适当的正性假设下，两个可移动曲线类之差是否位于可移动锥的内部？
• RQ4 能否通过 $(k+l)$-次调和形式与体积形式不等式建立 $(n-1,n-1)$-型形式的正性？
• RQ5 在可移动上同调类的背景下，反向科凡斯基-泰瑟不等式是否对 $(k+l)$-次调和形式成立？

主要发现

• 本文证明：在全局数值正性条件 (3) 下，上同调类 $\{\omega^{n-1} - \frac{(n-1)!}{(n-1)!1!}\omega^{0}\wedge\alpha^{n-1}\}$ 包含一个光滑且严格正的 $(n-1,n-1)$-型形式，从而验证了 $k=n-1$ 情况下的弱猜想。
• 作为推论，该猜想在凯勒 3-流形上被完全验证，推广了此前关于 $k=1$ 与 $k=n-1$ 情况的结果。
• 在可移动曲线锥的精细结构基础上，建立了两个可移动曲线类之差位于可移动锥内部的充分条件。
• 证明依赖于可移动 $(n-1,n-1)$-类的除子型泽里斯基分解与莫尔斯型大性判别准则。
• 在适当假设下，证明了 $(k+l)$-次调和形式的受限反向科凡斯基-泰瑟不等式成立，从而支持体积形式的比较。
• 该方法通过上同调与几何正性工具，将点态不等式约化为复环面上的交数不等式。