[论文解读] Preparation of matrix product states with log-depth quantum circuits

Daniel Malz, Georgios Styliaris+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用 3

一句话总结

本文提出了一种最优的量子线路协议，利用对数深度的量子线路准备平移不变的矩阵乘积态（MPS）。通过利用重整化群（RG）变换和等距线路，该协议在普通MPS下实现深度 T = O(log(N/ϵ))，在引入测量时实现 T = O(log log(N/ϵ))——证明了深度下限为 T = Ω(log N)，并展示了对幺正和测量辅助协议的渐近最优性。

ABSTRACT

We consider the preparation of matrix product states (MPS) on quantum devices via quantum circuits of local gates. We first prove that faithfully preparing translation-invariant normal MPS of $N$ sites requires a circuit depth $T=Ω(\log N)$. We then introduce an algorithm based on the renormalization-group transformation to prepare normal MPS with an error $ε$ in depth $T=O(\log (N/ε))$, which is optimal. We also show that measurement and feedback leads to an exponential speedup of the algorithm, to $T=O(\log\log (N/ε))$. Measurements also allow one to prepare arbitrary translation-invariant MPS, including long-range non-normal ones, in the same depth. Finally, the algorithm naturally extends to inhomogeneous MPS.

研究动机与目标

• 建立准备平移不变普通矩阵乘积态（MPS）所需线路深度的紧下界。
• 开发一种量子线路协议，通过严格局域门实现该下界。
• 通过测量与反馈，将该协议扩展至非均匀和非普通MPS。
• 证明测量辅助线路可实现任意平移不变MPS的指数级加速准备。

提出的方法

• 该算法使用迭代重整化群（RG）变换对自旋位进行分块，收敛至仅具有近邻纠缠的固定点态。
• 构建编码MPS局部结构的等距算符，并证明其可通过深度为 O(log(N/ϵ)) 的严格局域量子线路实现。
• 通过环境算符的奇异值分解，利用局部变分算法优化等距算符，以最大化与目标态的保真度。
• 将测量与反馈整合，以常数深度实现固定点态与等距算符，从而实现指数级加速。
• 通过在局部规范形式上应用相同的RG变换与等距构造，将协议扩展至非均匀MPS。
• 在测量基方案中，利用量子门 teleportation 高效实现非局域等距算符。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用局域量子门准备平移不变普通矩阵乘积态的最小线路深度是多少？
• RQ2 是否存在一种仅使用局域门的量子线路，可在深度 O(log(N/ϵ)) 内准备普通MPS，且该深度是否最优？
• RQ3 访问测量与反馈如何影响准备普通与非普通MPS的线路深度？
• RQ4 所提出的协议能否推广至具有短程关联的非均匀MPS？

主要发现

• 本文证明了使用局域量子线路准备平移不变普通MPS的深度下限为 T = Ω(log N)，表明对数深度是必需的。
• 通过显式构造量子线路，实现了仅使用局域门在深度 T = O(log(N/ϵ)) 内准备普通MPS，达到下界，证明了渐近最优性。
• 在引入测量与反馈后，线路深度降低至 T = O(log log(N/ϵ))，实现了对任意平移不变MPS（包括长程关联态）的指数级加速准备。
• 该协议自然扩展至短程关联的非均匀MPS，通过局域变分优化等距算符，保持高效的深度缩放。
• 有限范围MERA被证明可在 O(log log(N/ϵ)) 层内近似普通平移不变MPS，建立了MERA与MPS准备之间的新联系。
• 数值结果证实，随着分块范围增加，每一分块的误差呈指数衰减，支持了基于RG的近似与等距构造的高效性。