[论文解读] Pricing American options using martingale bases

Jérôme Lelong|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文提出一种新颖的双重方法，通过威纳混沌展开近似一致平方可积鞅，实现高效、可扩展且路径依赖的期权定价，采用样本平均近似法。该方法在并行高性能计算环境中表现出高效率与可扩展性——在512个核心上将计算时间从一小时以上缩短至11秒以内，同时在3分钟内以低于3%的相对误差准确定价40只股票的期权。

ABSTRACT

In this work, we propose an algorithm to price American options by directly solving the dual minimization problem introduced by Rogers. Our approach relies on approximating the set of uniformly square integrable martingales by a finite dimensional Wiener chaos expansion. Then, we use a sample average approximation technique to efficiently solve the optimization problem. Unlike all the regression based methods, our method can transparently deal with path dependent options without extra computations and a parallel implementation writes easily with very little communication and no centralized work. We test our approach on several multi--dimensional options with up to 40 assets and show the impressive scalability of the parallel implementation.

研究动机与目标

• 开发一种基于双重的美式期权定价算法，避免维度灾难与基于回归的局限性。
• 实现对路径依赖期权的透明处理，且无需额外计算成本。
• 在并行计算环境中实现高可扩展性，以应对高维问题。
• 为双重问题提供有限维、凸性且可微的优化框架。
• 在最多40维的多资产路径依赖期权上，展示该方法的效率与准确性。

提出的方法

• 通过截断的威纳混沌展开近似一致平方可积鞅空间，该方法对优化过程进行正则化，并允许精确计算条件期望。
• 将双重优化问题重新表述为关于威纳混沌展开系数的有限维、凸且可微问题。
• 采用样本平均近似（SAA）技术，通过蒙特卡洛采样高效求解优化问题。
• 算法在纯MPI环境中实现，支持细粒度并行，通信量最小且无集中式瓶颈。
• 该方法利用威纳混沌展开可精确计算条件期望的特性，避免了回归近似。
• 在最多40只基础资产、不同波动率与相关性的几何篮子看跌期权上进行了测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过有限维鞅近似，使美式期权定价的双重方法在高维问题中实现可扩展性与高效性？
• RQ2 威纳混沌展开在多大程度上改善了双重优化问题的条件与可实施性？
• RQ3 该方法在不增加计算成本的前提下，能多大程度上处理复杂的路径依赖收益？
• RQ4 该并行实现方案在数千个CPU核心上对高维期权的可扩展性如何？
• RQ5 SAA中的样本数量在高维设置下如何影响收敛性与准确性？

主要发现

• 该算法在3分钟内以低于3%的相对误差定价了40只股票的几何篮子看跌期权，展现出在高维问题上的强劲性能。
• 在由190个节点组成的超算系统（共3204个核心）上，使用512个核心将计算时间从4365秒（1小时13分钟）缩短至10.7秒，效率达到59%。
• 使用128个核心时，运行时间降至52秒，效率达73%，表现出极佳的可扩展性。
• 对于10只股票的期权，采用二阶威纳混沌近似可在数秒内获得高精度结果，优于传统双重方法。
• 当样本数相对于混沌展开系数数量过少时（例如，m=40，d=40，p=2），出现过拟合现象，导致期权价格略微被低估。
• 与基于回归的方法不同，该方法天然地无需额外计算开销即可处理路径依赖期权。