[论文解读] Probability-free stochastic integration of continuous functions

Vladimir Vovk|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对连续被积函数ϕ和连续价格路径ω的随机积分∫₀ᵗϕ dω的路径构造方法，绕过了传统的概率测度。通过利用样本路径连续性与确定性积分技术，该方法在不依赖概率空间的前提下建立了明确定义的积分，为连续情形下的随机积分提供了一条直接的、无测度的方法。

ABSTRACT

This note gives a simple construction of the pathwise stochastic integral $\int_0^t\phi d\omega$ for a continuous integrand $\phi$ and continuous price path $\omega$.

研究动机与目标

• 开发一种不依赖于概率测度或底层概率空间的随机积分公式化方法。
• 通过仅使用路径构造的确定性方法，将随机积分的适用范围扩展至连续路径与被积函数。
• 为连续过程提供一种严格且无测度的伊藤积分替代方法。
• 证明对于连续ϕ和ω，积分∫₀ᵗϕ dω可逐路径一致地定义。

提出的方法

• 利用样本路径连续性与紧区间上的一致收敛性来构造随机积分。
• 应用适用于连续路径的确定性分部积分公式。
• 利用积分器ω在紧区间上的有界变差性质，以确保可积性。
• 将积分定义为沿连续路径的黎曼-斯蒂尔杰斯和的逐点极限。
• 通过一致收敛性与连续性假设，建立唯一性与一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机积分是否可以在不引入概率测度的情况下定义？
• RQ2 是否能够仅通过确定性方法为连续函数构造路径构造的随机积分？
• RQ3 在无测度框架下，如何从连续路径中恢复经典伊藤积分？
• RQ4 何种条件可确保此类路径构造积分的存在性与唯一性？

主要发现

• 对于所有连续被积函数ϕ与连续路径ω，路径构造的随机积分∫₀ᵗϕ dω均存在且定义良好。
• 该构造方法无需依赖概率空间或测度论基础。
• 当ω在概率测度下为连续半鞅时，该积分与经典伊藤积分一致。
• 该方法仅依赖于紧区间上的一致连续性与有界变差性质，确保确定性收敛。