[论文解读] Projective klt pairs with nef anti-canonical divisor

Frédéric Campana, Junyan Cao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 12

一句话总结

该论文证明了对于具有 nef 反 canonical 除子 $-(K_X + \Delta)$ 的投影 klt 对 $(X,\Delta)$，反 canonical 除子的数值维数在极大有理连通（MRC）纤维化下保持不变，即对于一般纤维 $X_y$，有 $\mathrm{nd}(-(K_X + \Delta)) = \mathrm{nd}(-(K_{X_y} + \Delta_{X_y}))$。该结果推广了 Ejiri-Gongyo 关于 Kodaira 维数的工作，并以更强的数值形式解决了 Hacon-M^c Kernan 的问题，进一步将 Cao-Höring 的结构定理扩展到 klt 对的情形，表明 MRC 纤维化是一个到具有数值平凡 canonical 除子的光滑代数簇的态射，且具有局部平凡结构。

ABSTRACT

In this paper, we study a projective klt pair $(X, Δ)$ with the nef anti-log canonical divisor $-(K_X+Δ)$ and its maximally rationally connected fibration $ψ: X \dashrightarrow Y$. We prove that the numerical dimension of the anti-log canonical divisor $-(K_X+Δ)$ on $X$ coincides with that of the anti-log canonical divisor $-(K_{X_y}+Δ_{X_y})$ on a general fiber $X_y$ of $ψ: X \dashrightarrow Y$, which is an analogue of Ejiri-Gongyo's result formulated for the Kodaira dimension. As a corollary, we reveal a relation between positivity of the anti-canonical divisor and the rational connectedness, which gives a sharper estimate than the question posed by Hacon-$\mathrm{M^{c}}$Kernan. Moreover, in the case of $X$ being smooth, we show that a maximally rationally connected fibration $ψ: X o Y$ can be chosen to be a morphism to a smooth projective variety $Y$ with numerically trivial canonical divisor, and further that it is locally trivial with respect to the pair $(X, Δ)$, which can be seen as a generalization of Cao-Höring's structure theorem to klt pair cases. Finally, we study the structure of the slope rationally connected quotient for a pair $(X, Δ)$ with $-(K_X +Δ)$ nef, and obtain a structure theorem for projective orbifold surfaces.

研究动机与目标

• 将 Cao-Höring 对具有 nef 反 canonical 除子的光滑代数簇的结构定理推广到投影 klt 对的情形。
• 通过用数值维数替代 Kodaira 维数，解决 Hacon-M^c Kernan 关于 $-(K_X + \Delta)$ 的正性与有理连通性之间关系的问题。
• 建立具有 nef 反 canonical 除子的投影轨道丛曲面的斜有理连通（sRC）商的结构定理。
• 证明具有 nef $-(K_X + \Delta)$ 的 klt 对的 MRC 纤维化是一个到光滑射影代数簇 $Y$ 的态射，且 $K_Y$ 数值平凡。

提出的方法

• 通过奇异 Hermitian 度量和数值平坦性，利用 nef 相对反 canonical 除子的直接像层的正性性质。
• 应用数值平坦向量丛和平坦丛截面的理论，以控制数值维数。
• 构造奇点的解析解并拉回除子，以比较全空间与纤维上的数值类。
• 将 MRC 纤维化作为有理映射处理，并通过 canonical 解消技术将其修改为态射。
• 引入并分析轨道丛的斜有理连通（sRC）商，以研究具有 nef 反 canonical 除子的对的结构。
• 利用正电流的极限及当 $\beta \to 0^+$ 时数值类的渐近行为，推导出数值等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有 nef $-(K_X + \Delta)$ 的 klt 对，反 canonical 除子的数值维数在 MRC 纤维化下是否保持不变？
• RQ2 Cao-Höring 对具有 nef 反 canonical 除子的光滑代数簇的结构定理能否推广到 klt 对？
• RQ3 具有 nef 反 canonical 除子的投影轨道丛曲面的 sRC 商具有何种结构？
• RQ4 在 MRC 纤维化中，$-(K_X + \Delta)$ 的正性如何与纤维的有理连通性相关？

主要发现

• 在 $X$ 上的 $-(K_X + \Delta)$ 的数值维数等于 MRC 纤维化一般纤维 $X_y$ 上的 $-(K_{X_y} + \Delta_{X_y})$ 的数值维数，即 $\mathrm{nd}(-(K_X + \Delta)) = \mathrm{nd}(-(K_{X_y} + \Delta_{X_y}))$。
• 当 $X$ 光滑时，MRC 纤维化 $\psi: X \dashrightarrow Y$ 可被选为到光滑射影代数簇 $Y$ 的态射，且 $K_Y$ 数值平凡。
• 该纤维化关于对 $(X,\Delta)$ 局部平凡，将 Cao-Höring 的结果推广到 klt 对。
• 对于具有 $-(K_X + \Delta)$ nef 的投影轨道丛曲面，其 sRC 商是一个具有数值平凡 canonical 除子的光滑轨道丛，且其分支除子受良好控制。
• 基上 canonical 除子的拉回满足 $f^*(K_Z + D_Z) \equiv \text{有效除子} - \text{有效除子} + \text{极限类}$，从而导致与一般曲线的交数为零。
• 证明表明，在给定假设下，对于一般曲线 $C'$，有 $C' \cdot f^*(K_Z + D_Z) = 0$，这意味着 $f^*(K_Z + D_Z)$ 在纤维上数值平凡。