[论文解读] Proper time reparametrization in cosmology: Mobius symmetry and Kodama charges

Jibril Ben Achour|SPIRE - Sciences Po Institutional REpository|Mar 19, 2021

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 54被引用 4

一句话总结

本文建立了一套统一的框架，用于描述在均匀且各向同性宇宙学模型中 Möbius 重参数化对称性，表明尽管进行了规范固定，适当的重参数化时间仍会留下一个残余的 SL(2,ℝ) Noether 对称性。它推导出适当时间选择与尺度因子共形权重之间的关联条件，识别出守恒的类似 Kodama 的荷，并揭示了宇宙学 Möbius 对称性与球对称引力中体积保持微分同胚之间更深层次的联系。

ABSTRACT

It has been noticed that for a large class of cosmological models, the gauge fixing of the time-reparametrization invariance does not completely fix the clock. Instead, the system enjoys a surprising residual Noether symmetry under a Möbius reparametrization of the proper time, which maps gauge-inequivalent solutions to the Friedman equations onto each other. In this work, we provide a unified treatment of this hidden conformal symmetry and its realization in the homogeneous and isotropic sector of the Einstein-Scalar-$Λ$ system. We consider the flat Friedmann-Robertson-Walker (FRW) model, the (A)dS cosmology and provide a first treatment of the model with spatial constant curvature. We derive the general condition relating the choice of proper time and the conformal weight of the scale factor, and give a detailed analysis of the conserved Noether charges generating this physical symmetry. Our approach allows us to identify new realizations of this symmetry while recovering previous results in a unified manner. We also present the general mapping onto the conformal particle and discuss the solution-generating nature of the transformations beyond the Möbius symmetry. Finally, we show that, at least in a restricted context, this hidden conformal symmetry is intimately related to the Kodama charges of spherically symmetric gravity. This new connection suggests that the Möbius invariance of cosmology is only the corner of a larger symmetry structure which could be relevant beyond cosmological models.

研究动机与目标

• 在时间重参数化规范对称性被固定后，为均匀且各向同性宇宙学模型中的残余 Möbius 对称性提供一个完整且统一的处理方法。
• 阐明适当时间钟的选择如何影响该隐藏共形对称性的实现，并推导出钟的选择与尺度因子共形权重之间的一般关联条件。
• 识别并分析在平坦、(A)dS 和闭合 FRW 模型中生成 Möbius 对称性的守恒 Noether 荷。
• 建立该宇宙学 Möbius 对称性与球对称引力中 Kodama 荷之间的新颖联系，暗示存在一个更深层次的底层对称性结构。
• 探索 Möbius 和扩展的 Diff(S¹) 变换在标准共形群之外的解生成性质。

提出的方法

• 推导爱因斯坦-标量-Λ 系统在均匀且各向同性区域中的约化作用量，重点关注适当时间重参数化不变性。
• 对适当时间应用场依赖的重参数化，将残余的 SL(2,ℝ) 对称性识别为时间坐标的 Möbius 变换。
• 使用 Schwarzian 导数来表征 Möbius 不变量，并求解重参数化函数的关联微分方程。
• 构建哈密顿形式，并为平坦、(A)dS 和闭合 FRW 模型识别与 Möbius 对称性相关的守恒 Noether 荷。
• 通过 Niederer 变换将宇宙学系统映射到共形粒子模型，从而关联到 SO(2,1) 不变量。
• 通过共形桥形式主义，建立 Möbius 对称性与球对称引力中 Kodama 荷生成元之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 适当时间钟的选择如何影响宇宙学模型中残余 Möbius 对称性的实现？
• RQ2 在存在残余 SL(2,ℝ) 对称性的前提下，尺度因子的共形权重与适当时间选择之间的一般关联条件是什么？
• RQ3 生成 Möbius 对称性的守恒 Noether 荷是如何构建的？在平坦、(A)dS 和闭合 FRW 模型中，其物理意义是什么？
• RQ4 宇宙学 Möbius 对称性与球对称引力中 Kodama 荷之间的精确联系是什么？
• RQ5 Möbius 对称性能否扩展为更大的群（如 Diff(S¹)），这与宇宙学中的解生成映射有何关联？

主要发现

• 本文推导出一个一般条件，将尺度因子的共形权重与适当时间的选择联系起来，确保残余 Möbius 对称性的存在。
• 对于平坦 FRW 模型，显式计算了生成 Möbius 对称性的守恒 Noether 荷，并证明其在 SL(2,ℝ) 代数下封闭。
• 在 (A)dS 宇宙学中，Möbius 对称性以修正的共形结构实现，相关荷通过共形粒子映射推导得出。
• 对于具有正空间曲率的闭合宇宙，利用正切函数构造重参数化函数，并通过 Möbius 变换满足具有常数曲率的 Schwarzian 方程。
• 本文建立了宇宙学 Möbius 对称性与球对称引力中 Kodama 荷之间的直接联系，暗示存在一个超越宇宙学的更深层次统一对称性。
• 通过 Schwarzian 导数展示了 Möbius 和扩展的 Diff(S¹) 变换的解生成性质，使得可以从平坦解重构出 (A)dS 解。