[论文解读] Pseudoholomorphic Maps Relative to Normal Crossings Symplectic Divisors: Compactification

Mohammad Farajzadeh Tehrani|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对具有法线交叉结构的伪全纯映射的新几何框架，利用对数结构在特定的几乎复结构下定义了一个紧致且度量化的模空间。关键贡献在于，该紧化方式通常比通过展开退化得到的经典相对紧化更小，并通过投影映射和基于法丛的组合模型，明确描述了形变/障碍空间。

ABSTRACT

Inspired by the log Gromov-Witten theory of Gross-Siebert/Abramovich-Chen, we introduce a geometric notion of log pseudoholomorphic map relative to simple normal crossings symplectic divisors defined in [9]. For certain almost complex structures, we show that the moduli space of stable log pseudoholomorphic maps of any fixed type is compact and metrizable with respect to an enhancement of the Gromov topology. In the case of smooth symplectic divisors, our compactification is often smaller than the relative compactification and there is a projection map from the former onto the latter. The latter is constructed via expanded degenerations of the target. Our construction does not need any modification of (or any extra structure on) the target. Unlike the classical moduli spaces of stable maps, these log moduli spaces are often virtually singular. We describe an explicit toric model for the normal cone to each stratum in terms of the defining combinatorial data of that stratum. In upcoming papers, we will define a natural Fredholm operator which gives us the deformation/obstruction spaces of each stratum and prove a gluing theorem for smoothing log maps in the normal direction to each stratum. With minor modifications to the theory of Kuranishi structures, the latter would allow us to construct a virtual fundamental class for every such log moduli space.

研究动机与目标

• 为简单法线交叉辛除子相对的对数伪全纯映射定义几何概念。
• 在特定几乎复结构下，建立稳定对数映射模空间的紧致性与度量性。
• 构造一个通常比通过展开退化得到的经典相对紧化更小的紧化方式。
• 利用子簇的组合数据，描述模空间中每个子簇的法丛。
• 为未来工作奠定基础，通过弗雷德霍姆算子和粘合定理定义虚拟基本类。

提出的方法

• 为具有法线交叉结构的辛除子相对的伪全纯映射引入对数几何框架。
• 通过增强的格罗莫夫拓扑证明模空间的紧致性与度量性。
• 从对数紧化到通过展开退化得到的经典相对紧化，构造一个投影映射。
• 利用子簇的组合数据导出的显式塔里克模型，描述每个子簇的法丛。
• 在后续工作中提出一个与库兰希结构相容的弗雷德霍姆算子，用于形变/障碍理论。
• 概述一个用于在每个子簇法方向上平滑对数映射的粘合定理，以实现虚拟基本类的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不修改目标空间的前提下，为具有法线交叉结构的辛除子相对的伪全纯映射定义一个紧致的模空间？
• RQ2 对数紧化与通过展开退化得到的经典相对紧化之间有何关系？
• RQ3 如何利用组合数据几何地描述模空间中每个子簇的法丛？
• RQ4 对数映射的形变/障碍空间具有何种结构？如何通过弗雷德霍姆算子进行建模？
• RQ5 能否通过粘合定理与库兰希结构技术，为对数模空间构造一个虚拟基本类？

主要发现

• 在特定几乎复结构下，通过增强的格罗莫夫拓扑，稳定对数伪全纯映射的模空间是紧致且度量化的。
• 对数紧化通常严格小于通过展开退化得到的经典相对紧化。
• 存在一个从对数紧化到经典相对紧化的自然投影映射。
• 模空间中每个子簇的法丛均可通过子簇定义的组合数据导出的显式塔里克模型来描述。
• 该框架支持为形变/障碍理论定义弗雷德霍姆算子，预期通过粘合定理可得到虚拟基本类。
• 该理论避免了对目标空间的修改或在周围空间添加额外结构，从而与经典方法相区别。